Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

[ad_1]

Nội dung đang xem: Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến

Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến gồm 16 trang bao gồm các kiến thức về 7 phương pháp tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến kèm theo ví dụ minh họa và các dạng bài tập có đáp án kèm theo.

Cách tìm GTLN – GTNN của hàm nhiều biến được trình bày rất khoa học, logic giúp người học dễ hình dung và hiểu rõ kiến thức. Thông qua tài liệu này các bạn lớp 12 nhanh chóng nắm vững kiến thức để tìm GTLN – GTNN của hàm nhiều biến. Bên cạnh đó các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm nhiều biến

A. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Bài toán chung: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của hàm số f(x)

Bước 1: Dự đoán và chứng minh $f(x) geq c ; f(x) leq c$

Bước 2: Chỉ ra 1 điều kiện đủ để f(x)=c

2. Các phương pháp thường sử dụng

Phương pháp 1: Biến đổi thành tổng các bình phương

Phương pháp 2: Tam thức bậc hai.

Phương pháp 3: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển: Côsi; Bunhiacopski

Phương pháp 4: Sử dụng đạo hàm. Phương pháp 5: Sử dụng đổi biến lượng giác.

Xem thêm: Cách tính điểm tốt nghiệp THPT năm 2023

Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ và hệ tọa độ

Phương pháp 7: Sử dụng phương pháp hình học và hệ tọa độ.

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:

Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P(x, y)=x^{2}+11 y^{2}-6 x y+8 x-28 y+21$

Giải.

Biến đổi biểu thức dưới dạng $P(x, y)=(x-3 y+4)^{2}+2(y-1)^{2}+3 geq 3$

Từ đó suy ra $operatorname{Min} P(x, y)=3 Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y-1=0 \ x-3 y+4=0end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}y=1 \ x=-1end{array}right.right.$

Bài 2. Cho x, y>0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $S=frac{x^{4}}{y^{4}}+frac{y^{4}}{x^{4}}-frac{x^{2}}{y^{2}}-frac{y^{2}}{x^{2}}+frac{x}{y}+frac{y}{x}$

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $S=sin ^{2} x+sin ^{2} y+sin ^{2}(x+y)$

Giải

$S=sin ^{2} x+sin ^{2} y+sin ^{2}(x+y)=frac{1-cos 2 x}{2}+frac{1-cos 2 y}{2}+1-cos ^{2}(x+y)$

$S=2-cos (x+y) cos (x-y)-cos ^{2}(x+y)$

$=frac{9}{4}-left[frac{1}{4}+cos (x+y) cos (x-y)+cos ^{2}(x+y)right]$

$S=frac{9}{4}-left[frac{1}{2} cos (x-y)+cos (x+y)right]^{2}-frac{1}{4} sin ^{2}(x-y) leq frac{9}{4} .$

Với $x=y=frac{pi}{3}+k pi,(k in mathbb{Z})$ thì Max $S=frac{9}{4}$

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ldots+x_{8}^{2}-left(x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+ldots+x_{6} x_{7}+x_{7} x_{8}+x_{8}right)$

GIẢI

$S=left(x_{1}-frac{1}{2} x_{2}right)^{2}+frac{3}{4}left(x_{2}-frac{2}{3} x_{3}right)^{2}+frac{4}{6}left(x_{3}-frac{3}{4} x_{4}right)^{2}+frac{5}{8}left(x_{4}-frac{4}{5} x_{5}right)^{2}+$

$+frac{6}{10}left(x_{5}-frac{5}{6} x_{6}right)^{2}+frac{7}{12}left(x_{6}-frac{6}{7} x_{7}right)^{2}+frac{8}{14}left(x_{7}-frac{7}{8} x_{8}right)^{2}+frac{9}{16}left(x_{8}-frac{8}{9}right)^{2}-frac{4}{9} geq-frac{4}{9}$

Với $x_{1}=frac{1}{2} x_{2} ; x_{2}=frac{2}{3} x_{3} ; ldots ; x_{6}=frac{6}{7} x_{7} ; x_{7}=frac{7}{8} x_{8} ; x_{8}=frac{8}{9}$ , thì Min $S=-frac{4}{9}$

Bài 5. Cho $x, y, z in mathbb{R}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$mathrm{S}=19 x^{2}+54 y^{2}+16 z^{2}-16 x z-24 y+36 x y$

Giải.

Biến đổi $mathrm{S} Leftrightarrow f(x)=19 x^{2}-2(8 z-18 y) x+54 y^{2}+16 z^{2}-24 y$

Ta có $Delta_{x}^{prime}=g(y)=(8 z-18 y)^{2}-left(54 y^{2}+16 z^{2}-24 yright)=-702 y^{2}+168 z y-240 z^{2}$

$Rightarrow Delta_{y}^{prime}=(84 z)^{2}-702.240 z^{2}=-161424 z^{2} leq 0 quad forall z in mathrm{R} Rightarrow g(y) leq 0 forall y, z in mathrm{R}$

Suy ra $Delta_{x}^{prime} leq 0 quad forall y, z in mathrm{R} Rightarrow f(x) geq 0$ . Với $x=y=z=0 thì operatorname{Min} S=0$

Bài 6. Cho $x^{2}+x y+y^{2}=3$ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

$mathrm{S}=x^{2}-x y+y^{2}$

Giải

Xét y=0 $Rightarrow x^{2}=3 Rightarrow mathrm{S}=3$ là 1 giá trị của hàm số.

Xét $y neq 0$ , khi đó biến đổi biểu thức dưới dạng sau đây

$u=frac{S}{3}=frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x^{2}+x y+y^{2}}=frac{(x / y)^{2}-(x / y)+1}{(x / y)^{2}+(x / y)+1}=frac{t^{2}-t+1}{t^{2}+t+1}=u với t=frac{x}{y}$

$Leftrightarrow uleft(t^2+t+1right)=t^2-t+1Leftrightarrow(u-1)t^2+(u+1)t+(u-1)=0$

+ Nếu $u=1, thì t=0 Rightarrow x=0, y= pm sqrt{3} Rightarrow u=1$ là 1 giá trị của hàm số

+ Nếu $u neq 1$ , thì u thuộc tập giá trị hàm số $Leftrightarrow$ phương trình (*) có nghiệm t

$Leftrightarrow Delta=(3 u-1)(3-u) geq 0 Leftrightarrow frac{1}{3} leq u neq mathbb{1} leq 3.$

Vậy tập giá trị của u là $left[frac{1}{3}, 3right] Rightarrow operatorname{Min} u=frac{1}{3} ; operatorname{Max} u=3$

$operatorname{Min} mathrm{S}=1 Leftrightarrow operatorname{Min} u=frac{1}{3} Leftrightarrow t=1 Rightarrowleft{begin{array}{l}x=y \ x^2+x y+y^2=3end{array} Leftrightarrow x=y= pm 1right.$

Max $S =9 Leftrightarrow operatorname{Max} u=3 Leftrightarrow t=-1 Rightarrowleft{begin{array}{l}x=-y \ x^2+x y+y^2=3end{array} Leftrightarrowleft[begin{array}{l}x=sqrt{3}, y=-sqrt{3} \ x=-sqrt{3}, y=sqrt{3}end{array}right.right.$

Bài 7. Cho $x, y in mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $left(x^2-y^2+1right)^2+4 x^2 y^2-left(x^2+y^2right)=0$ . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $mathrm{S}=x^2+y^2$

Giải Biến đổi $left(x^2-y^2right)^2+2left(x^2-y^2right)+1+4 x^2 y^2-left(x^2+y^2right)=0$

$Leftrightarrowleft(x^2+y^2right)^2-3left(x^2+y^2right)+1+4 x^2=0$

$Leftrightarrowleft(x^2+y^2right)^2-3left(x^2+y^2right)+1=-4 x^2$

Do $-4 x^2 leq 0 nền left(x^2+y^2right)^2-3left(x^2+y^2right)+1 leq 0 Leftrightarrow frac{3-sqrt{5}}{2} leq x^2+y^2 leq frac{3+sqrt{5}}{2}$

Với $x=0, y= pm sqrt{frac{3-sqrt{5}}{2}}, thì operatorname{Min}left(x^2+y^2right)=frac{3-sqrt{5}}{2}.$

Với $x=0, y= pm sqrt{frac{3+sqrt{5}}{2}}$ , thi $operatorname{Max}left(x^2+y^2right)=frac{3+sqrt{5}}{2}$

Bài 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+sqrt{4 x^2+2 x+1}$

Giải.

Gọi yo là 1 giá trị của hàm f(x)

$Rightarrow$ tồn tại $x_0$ sao cho $x_0$

$Leftrightarrow y_0-x_0=sqrt{4 x_0^2+2 x_0+1} Rightarrow y_0^2-2 y_0 x_0+x_0^2=4 x_0^2+2 x_0+1$

$Leftrightarrow gleft(x_0right)=3 x_0^2+2left(1+y_0right) x_0+1-y_0^2=0$ . Ta có g(x)=0 có nghiệm $x_0$

$Leftrightarrow Delta^{prime}=left(1+y_0right)^2-3left(1-y_0^2right)=2left(2 y_0^2+y_0-1right)=2left(y_0+1right)left(2 y_0-1right) geq 0$

Do $y_0=x_0+sqrt{3 x_0^2+left(x_0+1right)^2} geq x_0+sqrt{3 x_0^2}=x_0+sqrt{3}left|x_0right| geq 0$ nên

$Delta^{prime} geq 0 Leftrightarrow 2 y_0-1 geq 0 Leftrightarrow y_0 geq frac{1}{2}.$ Với $x=-frac{1}{2}$ thì $Minf f(x)=frac{1}{2}$

…………..

Mời các bạn tải File tài liệu về để xem thêm nội dung chi tiết

[ad_2]

Đăng bởi: THPT An Giang

Chuyên mục: Học Tập

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm nhiều biến

TOP 17 Bài Dàn ý thuyết minh về cây bút bi Chọn lọc

Lời bài hát Ngốc – Tin Đẹp