Giải Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Photo of author

By THPT An Giang

[ad_1]

Nội dung đang xem: Giải Toán 9 Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

Download.vn mời quý thầy cô cùng tham khảo tài liệu Giải bài tập SGK Toán 9 Tập 1 trang 14, 15, 16 để xem gợi ý giải các bài tập của Bài 3: Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương thuộc chương 1 Đại số 9.

Tài liệu được biên soạn với nội dung bám sát chương trình sách giáo khoa trang 14, 15, 16 Toán lớp 9 tập 1. Qua đó, các em sẽ biết cách giải toàn bộ các bài tập của bài 3 Chương 1 trong sách giáo khoa Toán 9 Tập 1. Chúc các bạn học tốt.

Lý thuyết Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương

1. Định lí. Với các số a và b không âm ta có: sqrt{a.b}=sqrt a. sqrt b

Xem thêm:  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác: Lý thuyết & các dạng bài tập

1. Định lí

Với các số a và b không âm ta có:sqrt{a.b}=sqrt a. sqrt b

Lưu ý:

+) Với hai biểu thức không âm A và B, ta cũng có:sqrt{A.B}=sqrt A. sqrt B

+) Nếu không có điều kiện A và B không âm thì không thể viết đằng thức trên.

Chẳng hạn sqrt{(-9).(-4)} được xác định nhưng đẳng thức sqrt {(-9)}. sqrt {(-4)} không xác định.

2. Áp dụng

a. Quy tắc khai phương một tích

Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

+ Mở rộng: Với các số a, b,c không âm ta có: sqrt{a.b.c}=sqrt a. sqrt b.sqrt c

b. Quy tắc nhân các căn bậc hai

Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

+ Mở rộng: Với các số a, b,c không âm ta có:sqrt a. sqrt b .sqrt c=sqrt{a.b.c}.

+ Với biểu thức A không âm, ta có: {left( {sqrt A } right)^2} = sqrt {{A^2}} = A

3. Dạng toán cơ bản

Dạng 1: Thực hiện phép tính

Sử dụng: Với hai biểu thức không âm A và B, ta có:sqrt{A.B}=sqrt A. sqrt B

Ví dụ:sqrt {32} + sqrt 8 = sqrt {16.2} + sqrt {4.2} = sqrt {16} .sqrt 2 + sqrt 4 .sqrt 2 = 4sqrt 2 + 2sqrt 2 = 6

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng: Với hai biểu thức không âm A và B, ta có: sqrt{A.B}=sqrt A. sqrt B

Ví dụ:

begin{array}{l}
sqrt {9left( {{x^2} - 2x + 1} right)} = sqrt 9 .sqrt {{x^2} - 2x + 1} 
= 3.sqrt {{{left( {x - 1} right)}^2}} = 3left| {x - 1} right|
end{array}

Giải bài tập toán 9 trang 14, 15, 16 tập 1

Bài 17 (trang 14 SGK Toán 9 Tập 1)

Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

sqrt{0,09.64}=sqrt{0,09}.sqrt{64}

=sqrt{(0,3)^2}.sqrt{8^2}

=|0,3|. |8|

=0,3.8

=2,4.

b) Ta có:

sqrt{2^{4}.(-7)^{2}}=sqrt{2^4}.sqrt{(-7)^2}

=sqrt{(2^2)^2}.sqrt{(-7)^2}

=sqrt{4^2}.left| -7 right|

=|4|.|-7|

=4.7

=28.

c) Ta có:

sqrt{12,1.360}=sqrt{12,1.(10.36)}

=sqrt{(12,1.10).36}

=sqrt{121.36}

=sqrt{121}.sqrt{36}

=sqrt{11^2}.sqrt{6^2}

=|11|.|6|

=11.6

=66.

d) Ta có:

Xem thêm:  How to demonstrate that the equation always has a solution for every me?

sqrt{2^{2}.3^{4}}=sqrt{2^2}.sqrt{3^4}

=sqrt{2^{2}}.sqrt{(3^2)^2}

=sqrt{ 2^2}.sqrt{9^2}

=|2|.|9|

=2.9

=18.

Bài 18 (trang 14 SGK Toán 9 Tập 1)

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:

Áp dụng quy tắc nhân các căn bậc hai, hãy tính:

a) sqrt{7}.sqrt{63};

b) sqrt{2,5}.sqrt{30}.sqrt{48};

c) sqrt{0,4}.sqrt{6,4};

d) sqrt{2,7}.sqrt{5}.sqrt{1,5}.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

sqrt{7}.sqrt{63}=sqrt{7.63} =sqrt{7.(7.9)} =sqrt{(7.7).9}

=sqrt{7^2. 3^2} =sqrt{7^2}.sqrt{3^2}

=|7|.|3|=7.3 =21.

b) Ta có:

sqrt{2,5}.sqrt{30}.sqrt{48}=sqrt{2,5.30.48}

=sqrt{2,5.(10.3).(16.3)}

=sqrt{(2,5.10).(3.3).16}

=sqrt{25.3^2.4^2}

=sqrt{25}.sqrt{3^2}.sqrt{4^2}

=sqrt{5^2}.sqrt{3^2}.sqrt{4^2}

=|5|.|3|.|4|=5.3.4 =60.

c) Ta có:

sqrt{0,4}.sqrt{6,4}=sqrt{0,4.6,4}=sqrt{0,4.(0,1.64)}

=sqrt{(0,4.0,1).64}=sqrt{0,04.64}

=sqrt{0,04}.sqrt{64}=sqrt{0,2^2}.sqrt{8^2}

=|0,2|.|8|=0,2.8 =1,6.

d)

sqrt{2,7}.sqrt{5}.sqrt{1,5}=sqrt{2,7.5.1,5}

=sqrt{(27.0,1).5.(0,5.3)}

=sqrt{(27.3).(0,1.5).0,5}

=sqrt{81.0,5.0,5} =sqrt{81.0,5^2}

=sqrt{81}.sqrt{0,5^2}=sqrt{9^2}.sqrt{0,5^2}

=|9|.|0,5|=9.0,5=4,5.

Bài 19 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) sqrt{0,36a^{2}} với a <0;

b) sqrt{a^4.(3-a)^2} với a ≥ 3;

c) sqrt{27.48(1 - a)^{2}} với a > 1;

d)dfrac{1}{a - b}. sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}} với a > b.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

sqrt{0,36a^{2}} = sqrt{0,36}.sqrt{a^{2}}

=sqrt{0,6^2}.sqrt{a^2}

= 0,6.│a│

= 0,6. (-a)=-0,6a

(Vì a < 0 nên │a│= -a).

b)

a^{2} ≥ 0 nên left| a^2 right|= a^{2}.

a ge 3 hay 3 le a nên 3 – a ≤ 0.

Rightarrow│3 - a│= -(3-a)=-3+a=a - 3.

Ta có: sqrt{a^{4}.(3 - a)^{2}}= sqrt{a^{4}}. sqrt{(3 - a)^{2}}

=sqrt{(a^2)^2}.sqrt{(3-a)^2}

= left| a^{2}right|.left| 3 - a right|.

= a^2.(a-3)=a^3-3a^2.

c)

Vì a > 1 hay 1<a nên 1 – a < 0.

Rightarrow left| 1 - aright| =-(1-a)=-1+a= a -1.

Ta có: sqrt{27.48(1 - a)^{2}} = sqrt{27.(3.16).(1 - a)^{2}}

=sqrt{(27.3).16.(1-a)^2}

= sqrt{81.16.(1 - a)^{2}}

=sqrt {81} .sqrt {16} .sqrt {{{(1 - a)}^2}}

=sqrt{9^2}.sqrt{4^2}.sqrt{(1-a)^2}

= 9.4. left| {1 - a} right| = 36.left| {1 - a} right|

= 36.(a-1)=36a-36.

d)

a^2 ge 0, với mọi a nên left|a^2 right| = a^2.

Vì a > b nên a -b > 0. Do đóleft|a - bright|= a - b.

Ta có: dfrac{1}{a - b} . sqrt{a^{4}.(a - b)^{2}}

= dfrac{1}{a - b} . sqrt{a^{4}}.sqrt{(a - b)^{2}}

= dfrac{1}{a - b} . {left| {{a^2}} right|.left| {a - b} right|}

=dfrac{1}{a - b} . a^{2}.(a - b)

=a^2

Bài 20 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) sqrt{dfrac{2a}{3}}. sqrt{dfrac{3a}{8}} với a ≥ 0;

b) sqrt{13a}.sqrt{dfrac{52}{a}} với a > 0;

c) sqrt{5a}.sqrt{45a} - 3a với a ≥ 0;

d)(3 - a)^{2}- sqrt{0,2}.sqrt{180a^{2}}.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

sqrt{dfrac{2a}{3}}.sqrt{dfrac{3a}{8}}=sqrt{dfrac{2a}{3}.dfrac{3a}{8}}=sqrt{dfrac{2a.3a}{3.8}} =sqrt{dfrac{a^2}{4}}=sqrt{dfrac{a^2}{2^2}}

=sqrt{left(dfrac{a}{2}right)^2}=left| dfrac{a}{2}right| = dfrac{a}{2}.

(Vì a ge 0 nên dfrac{a}{2} ge 0 Rightarrow left| dfrac{a}{2} right| = dfrac{a}{2}).

b) Ta có:

sqrt{13a}.sqrt{dfrac{52}{a}}=sqrt{13a.dfrac{52}{a}}=sqrt{dfrac{13a.52}{a}}

=sqrt{dfrac{13a.(13.4)}{a}}=sqrt{dfrac{(13.13).4.a}{a}}

=sqrt{13^2.4}=sqrt{13^2}.sqrt{4}

=sqrt{13^2}.sqrt{2^2}=13.2

=26 (vì a>0)

c)

Do ageq 0 nên bài toán luôn được xác định.

Ta có:sqrt{5a}.sqrt{45a}- 3a=sqrt{5a.45a}-3a

=sqrt{(5.a).(5.9.a)}-3a

=sqrt{(5.5).9.(a.a)}-3a

=sqrt{5^2.3^2.a^2}-3a

=sqrt{5^2}.sqrt{3^2}.sqrt{a^2}-3a

=5.3.left|aright|-3a=15 left|a right| -3a.

=15a – 3a = (15-3)a =12a.

(vì a ge 0 nên left| a right| = a).

d) Ta có:

(3 - a)^{2}- sqrt{0,2}.sqrt{180a^{2}}=(3 - a)^{2}-sqrt{0,2.180a^2}

= (3-a)^2-sqrt{0,2.(10.18).a^2}

=(3-a)^2-sqrt{(0,2.10).18.a^2}

=(3-a)^2-sqrt{2.18.a^2}

=(3-a)^2-sqrt{36a^2}

=(3-a)^2-sqrt{36}.sqrt{a^2}

=(3-a)^2-sqrt{6^2}.sqrt{a^2}

=(3-a)^2-6.left|aright|.

+) TH1: Nếu ageq 0Rightarrow |a|=a.

Do đó: (3 - a)^{2}- 6left|aright|=(3-a)^2-6a

=(3^2-2.3.a+a^2)-6a

=(9-6a+a^2)-6a

=9-6a+a^2-6a

=a^2+(-6a-6a)+9

=a^2+(-12a)+9

=a^2-12a+9.

+) TH2: Nếu a<0Rightarrow |a|=-a.

Do đó: (3 - a)^{2}- 6left|aright| =(3-a)^2-6.(-a)

=(3^2-2.3.a+a^2)-(-6a)

=(9-6a+a^2)+6a

=9-6a+a^2+6a

=a^2+(-6a+6a)+9

=a^2+9.

Vậy (3 - a)^{2}- sqrt{0,2}.sqrt{180a^{2}}=a^2-12a+9, nếu a ge 0.

(3 - a)^{2}- sqrt{0,2}.sqrt{180a^{2}}=a^2+9, nếu a <0.

Bài 21 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Khai phương tích 12.30.40 được:

(A) 1200; (B) 120; (C) 12; (D) 240

Hãy chọn kết quả đúng.

Gợi ý đáp án

Ta có:

Xem thêm:  Tuyển tập 101 đề thi giữa kì 1 môn Toán 9

sqrt{12.30.40}=sqrt{(3.4).(3.10).(4.10)}

=sqrt{(3.3).(4.4).(10.10)}

=sqrt{3^2.4^2.10^2}

=sqrt{3^2}.sqrt{4^2}.sqrt{10^2}

=3.4.10=120.

Vậy đáp án đúng là (B). 120

Giải bài tập toán 9 trang 15, 16 tập 1: Luyện tập

Bài 22 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:

Gợi ý đáp án

Câu a: Ta có:

sqrt{13^{2}- 12^{2}}=sqrt{(13+12)(13-12)}

=sqrt{25.1}=sqrt{25}

=sqrt{5^2}=|5|=5.

Câu b: Ta có:

sqrt{17^{2}- 8^{2}}=sqrt{(17+8)(17-8)}

=sqrt{25.9}=sqrt{25}.sqrt{9}

=sqrt{5^2}.sqrt{3^2}=|5|.|3|.

=5.3=15.

Câu c: Ta có:

sqrt{117^{2} - 108^{2}} =sqrt{(117-108)(117+108)}

=sqrt{9.225} =sqrt{9}.sqrt{225}

=sqrt{3^2}.sqrt{15^2}=|3|.|15|

=3.15=45.

Câu d: Ta có:

sqrt{313^{2} - 312^{2}}=sqrt{(313-312)(313+312)}

=sqrt{1.625}=sqrt{625}

=sqrt{1.625}=sqrt{625}

Bài 23 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh.

a) (2 - sqrt{3})(2 + sqrt{3}) = 1;

b) (sqrt{2006} - sqrt{2005}) và (sqrt{2006} + sqrt{2005}) là hai số nghịch đảo của nhau.

Gợi ý đáp án

Câu a: Ta có:

(sqrt{2006} - sqrt{2005}) và (sqrt{2006} + sqrt{2005})

Câu b:

Ta tìm tích của hai số (sqrt{2006} - sqrt{2005}) và (sqrt{2006} + sqrt{2005})

Ta có:

(sqrt{2006} + sqrt{2005}).(sqrt{2006} - sqrt{2005})

= (sqrt{2006})^2-(sqrt{2005})^2

=2006-2005=1

Do đó (sqrt{2006} + sqrt{2005}).(sqrt{2006} - sqrt{2005})=1

Leftrightarrow sqrt{2006}-sqrt{2005}=dfrac{1}{sqrt{2006}+sqrt{2005}}

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau.

Bài 24 (trang 15 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 3) của các căn thức sau:

a) sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}} tại x = - sqrt 2 ;

b)sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)} tại a = - 2;,,b = - sqrt 3 .

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

sqrt{4(1 + 6x + 9x^{2})^{2}} =sqrt {4}. sqrt {{{(1 + 6x + 9{x^2})}^2}}

=sqrt{4}.sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2)^2}

=sqrt{2^2}.sqrt{left[1^2+2.3x+(3x)^2right]^2}

=2.sqrt {{{left[ {{{left( {1 + 3x} right)}^2}} right]}^2}}

=2.left|(1+3x)^2right|

=2(1+3x)^2.

(Vì (1+3x)^2 > 0 với mọi x nên left|(1+3x)^2right|=(1+3x)^2 )

Thay x = - sqrt 2vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

2{left[ {1 + 3.(-sqrt 2) } right]^2}=2(1-3sqrt{2})^2.

Bấm máy tính, ta được: 2{left( {1 - 3sqrt 2 } right)^2} approx 21,029.

b) Ta có:

sqrt{9a^{2}(b^{2} + 4 - 4b)} =sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}

=sqrt{(3a)^2.(b^2-2.b.2+2^2)}

=sqrt{(3a)^2}. sqrt{(b-2)^2}

=left|3aright|. left|b-2right|

Thay a = -2 và b = - sqrt 3 vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

left| 3.(-2)right|. left| -sqrt{3}-2right| =left|-6right|.left|-(sqrt{3}+2) right|

=6.(sqrt{3}+2)=6sqrt{3}+12.

Bấm máy tính, ta được: 6sqrt{3}+12 approx 22,392.

Bài 25 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1)

Gợi ý đáp án

a) Điều kiện: x ge 0

sqrt {16x} = 8 Leftrightarrow {left( {sqrt {16x} } right)^2} = {8^2} Leftrightarrow 16x = 64

Leftrightarrow x = dfrac{{64}}{{16}} Leftrightarrow x = 4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=4.

Cách khác:

begin{array}{l}
sqrt {16x} = 8 Leftrightarrow sqrt {16} .sqrt x = 8
Leftrightarrow 4sqrt x = 8 Leftrightarrow sqrt x = 2
Leftrightarrow x = {2^2} Leftrightarrow x = 4
end{array}

b) Điều kiện: 4x ge 0 Leftrightarrow x ge 0

sqrt {4x} = sqrt 5 Leftrightarrow {left( {sqrt {4x} } right)^2} = {left( {sqrt 5 } right)^2}

Leftrightarrow 4x = 5 Leftrightarrow x = dfrac{5}{4} (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=dfrac{5}{4}.

c) Điều kiện: 9left( {x - 1} right) ge 0 Leftrightarrow x - 1 ge 0 Leftrightarrow x ge 1

sqrt {9left( {x - 1} right)} = 21 Leftrightarrow 3sqrt {x - 1} = 21

Leftrightarrow sqrt {x - 1} = 7 Leftrightarrow x - 1 = 49 Leftrightarrow x = 50 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x=50.

Cách khác:

begin{array}{l}
sqrt {9left( {x - 1} right)} = 21 Leftrightarrow 9left( {x - 1} right) = {21^2}
Leftrightarrow 9left( {x - 1} right) = 441 Leftrightarrow x - 1 = 49
Leftrightarrow x = 50
end{array}

d) Điều kiện: x in R (vì 4.(1-x)^2ge 0 với mọi x)

sqrt {4{{left( {1 - x} right)}^2}} - 6 = 0 Leftrightarrow 2sqrt {{{left( {1 - x} right)}^2}} = 6 Leftrightarrow left| {1 - x} right| = 3

Leftrightarrow left[ begin{array}{l}1 - x = 31 - x = - 3end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = - 2x = 4end{array} right.

Vậy x=-2;x=4.

Bài 26 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1)

a) So sánh sqrt{25 + 9}sqrt{25} + sqrt{9};

b) Với a > 0 và b > 0, chứng minh sqrt{a + b} < sqrt{a}+sqrt{b}.

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

+) sqrt{25 + 9}=sqrt{34}.

+) sqrt{25} + sqrt{9}=sqrt{5^2}+sqrt{3^2}=5+3

=8=sqrt{8^2}=sqrt{64}.

Vì 34<64 nên sqrt{34}<sqrt{64}

Vậy sqrt{25 + 9}<sqrt{25} + sqrt{9}

b) Với a>0,b>0, ta có

+), (sqrt{a + b})^{2} = a + b.

+) ,(sqrt{a} + sqrt{b})^{2}= (sqrt{a})^2+ 2sqrt a .sqrt b +(sqrt{b})^2

= a +2sqrt{ab} + b

=(a+b) +2sqrt{ab}.

Vì a > 0, b > 0 nên sqrt{ab} > 0 Leftrightarrow 2sqrt{ab} >0

Leftrightarrow (a+b) +2sqrt{ab} > a+b

Leftrightarrow (sqrt{a}+sqrt{ b})^2 > (sqrt{a+b})^2

Leftrightarrow sqrt{a}+sqrt{b}>sqrt{a+b} (đpcm)

Bài 27 (trang 16 SGK Toán 9 Tập 1)

So sánh

a) 4 và 2sqrt{3};

b) -sqrt{5} và -2

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

begin{array}{l}
4 > 3 Leftrightarrow sqrt 4 > sqrt 3 
Leftrightarrow 2 > sqrt 3 
Leftrightarrow 2.2 > 2.sqrt 3 
Leftrightarrow 4 > 2sqrt 3
end{array}

Cách khác:

Ta có:

left{ matrix{
{4^2} = 16 hfill cr
{left( {2sqrt 3 } right)^2} = {2^2}.{left( {sqrt 3 } right)^2} = 4.3 = 12 hfill cr} right.

Vì 16> 12 Leftrightarrow sqrt {16} > sqrt 12

Hay 4 > 2sqrt 3.

b) Vì 5>4 Leftrightarrow sqrt 5 > sqrt 4

Leftrightarrow sqrt 5 > 2

Leftrightarrow -sqrt 5 < -2 (Nhân cả hai vế bất phương trình trên với -1)

Vậy

[ad_2]

Đăng bởi: THPT An Giang

Chuyên mục: Học Tập

Viết một bình luận