Hệ phương trình đẳng cấp: Cách giải, bài tập

Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng bài toán quan trọng thường gặp trong các bài kiểm tra và bài thi vào lớp 10 môn Toán. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp đòi hỏi người giải phải nắm vững kiến thức cơ bản và áp dụng chính xác các bước giải. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải hệ phương trình đẳng cấp và làm một số bài tập để rèn kỹ năng giải toán này.

1. Hệ phương trình đẳng cấp là gì?

Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm 2 phương trình 2 ẩn mà ở mỗi phương trình bậc của mỗi ẩn bằng nhau.
Ví dụ: $left{ begin{array}{l} fleft( {x;y} right) = {a_1} gleft( {x;y} right) = {a_2} end{array} right.$ với f, g là các hàm số với hai biến x, y có bậc bằng nhau.

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Để giải hệ phương trình đẳng cấp, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Nhân phương trình thứ nhất với hệ số của nó và phương trình thứ hai với hệ số của nó. Sau đó, trừ hai phương trình để loại bỏ hệ số tự do.

Bước 2: Xét từng trường hợp với hai biến x và y:

Trường hợp 1: x = 0 hoặc y = 0. Thay vào phương trình để tìm ra giá trị của y hoặc x. Sau đó, kiểm tra lại kết quả bằng cách thay vào hệ phương trình.
Trường hợp 2: x khác 0 hoặc y khác 0. Chia cả hai vế của phương trình cho bậc cao nhất của biến x hoặc y.

Bước 3: Giải phương trình với biến $frac{x}{y}$ hoặc $frac{y}{x}$ . Sau đó, tìm ra nghiệm của hệ phương trình.

Xem thêm: "Chuyên đề về phương trình có nghiệm nguyên"

3. Ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp

Giải hệ phương trình: $left{ begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1 {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 end{array} right.$

Lời giải:
Ta có: $left{ begin{array}{l} {x^3} + {y^3} = 1 {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} 2left( {{x^3} + {y^3}} right) = 2left( 1 right) {x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 2left( 2 right) end{array} right.$

Lấy (1) – (2) ta có:

$begin{array}{l} 2{x^3} + 2{y^3} - {x^2}y - 2x{y^2} - {y^3} = 0 Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2}y - 2x{y^2} + {y^3} = 0left( 3 right) end{array}$

Trường hợp 1: với y = 0, thay vào phương trình (3) có x = 0. Thử lại kết quả vừa tìm được bằng cách thay vào hệ phương trình, ta có 0 = 2 (vô lý).

Trường hợp 2: với y khác 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho $y^3$ ta được:

$2{left( {frac{x}{y}} right)^3} - {left( {frac{x}{y}} right)^2} - 2left( {frac{x}{y}} right) + 1 = 0$

Đặt $t = frac{x}{y}$

Phương trình trở thành:

$begin{array}{l} 2{t^3} - {t^2} - 2t + 1 = 0 Leftrightarrow left[ begin{array}{l} t = 1 t = - 1 t = frac{1}{2} end{array} right.$

Với $t = 1 Rightarrow frac{x}{y} = 1 Leftrightarrow x = y$ , thay vào phương trình (1) có:

${x^3} + {x^3} = 1 Leftrightarrow 2{x^3} = 1 Leftrightarrow x = frac{1}{{sqrt[3]{2}}} Rightarrow y = frac{1}{{sqrt[3]{2}}}$

Với $t = - 1 Rightarrow frac{x}{y} = - 1 Leftrightarrow x = - y$ , thay vào phương trình (2) có:

${x^3} - {x^3} = 1 Leftrightarrow 0{x^3} = 1$ (vô lý)

Với $t = frac{1}{2} Leftrightarrow frac{x}{y} = frac{1}{2} Leftrightarrow y = 2x$ , thay vào phương trình (2) có:
<img alt=”{x^3} + 8{x^3} = 1 Leftrightarrow 9{x^3} = 1 Leftrightarrow {x^3} = frac{1}{9} Leftrightarrow x = frac{1}{{sqrt[3]{9}}} Rightarrow y = frac{2}{{sqrt[3]{9}}}” width=”475″ height=”49″ data-latex=”{x^3} + 8{x^3} = 1 Leftrightarrow 9{x^3} = 1 Leftrightarrow {x^3} = frac{1}{9} Leftrightarrow x = frac{1}{{sqrt[3]{9}}} Rightarrow y = frac{2}{{sqrt[3]{9}}}” data-i=”16″ class=”lazy” src=”https://tex.vdoc.vn/?tex=%7Bx%5E3%7D%20%2B%208%7Bx%5E3%7D%20%3D%201%20%5CLeftrightarrow%209%7Bx%5E3%7D%20%3D%201%20%5CLeftrightarrow%20%7Bx%5E3%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B

1. Hệ phương trình đẳng cấp là gì?

2. Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

3. Ví dụ về giải hệ phương trình đẳng cấp

Soạn bài Vè chim (trang 39)

Toán lớp 4: Biểu thức có chứa ba chữ trang 43