Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử là một trong những dạng toán quan trọng thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và bài thi học kì môn Toán lớp 8. Phương pháp này giúp chúng ta tổng hợp và nắm vững kiến thức về cách phân tích đa thức thông qua các ví dụ và bài tập cụ thể. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết về phương pháp tách hạng tử để nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong các kì thi sắp tới.
Phương pháp tách hạng tử trong phân tích đa thức
I. Phương pháp tách hạng tử
- Ta có thể tách một hạng tử trong đa thức thành hai hoặc nhiều hạng tử thích hợp để có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích.
Chú ý: Quy tắc dấu ngoặc
- Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “−” đứng trước, ta phải đổi dấu cho tất cả các số hạng trong ngoặc: dấu “−” thành dấu “+” và dấu “+” thành dấu “−”. Khi xóa dấu ngoặc có dấu “+” đứng trước, dấu của các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.
II. Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử
a) Đối với đa thức bậc hai f(x) = ax^2 + bx + c có nghiệm
Phương pháp chung:
Bước 1: Tính tích ac sau đó phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 2: Chọn hai thừa số từ các tích trên có tổng bằng b.
Bước 3: Tách bx = aix + cix. Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.
Ví dụ: Phân tích đa thức f(x) = 3x^2 + 8x + 4 thành nhân tử
Gợi ý đáp án
Phân tích ac:
ac = 12 = 3.4 = (-3).(-4) = 2.6 = (-2).(-6) = 1.12 = (-1).(-12)
Tích của hai thừa số có tổng bằng 8 là tích ac = 2.6
Tách 8x = 2x + 6x
=> 3x^2 + 8x + 4 = 3x^2 + 2x + 6x + 4 = (3x^2 + 2x) + (6x + 4) = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x + 2)
b) Đối với đa thức hai biến dạng f(x; y) = ax^2 + bxy + cy^2
Phương pháp chung:
Phương pháp 1: Xem đa thức f(x; y) = ax^2 + bxy + cy^2 là đa thức một biến x.
Khi đó, hệ số lần lượt là a, by, cy^2 và ta áp dụng phương pháp như với đa thức bậc hai một biến.
Phương pháp 2: Viết đa thức về dạng f(x; y) = y^2[a(x/y)^2 + b(x/y) + c]. Đặt t = x/y và phân tích đa thức at^2 + bt + c theo phương pháp như với đa thức bậc hai một biến.
Ví dụ: Phân tích đa thức 2x^2 – 5xy + 2y^2 thành nhân tử
Gợi ý đáp án
Cách 1: Xét đa thức f(x) = 2x^2 – 5xy + 2y^2
Khi đó ta có a = 2; b = -5y; c = 2y^2
Ta có ac = y.4y = (-y).(-4y) = 2y.2y = (-2y).(-2y) = ….
Ta chọn tích (-y).(-4y) vì (-y) + (-4y) = -5y = b
=> 2x^2 – 5xy + 2y^2 = 2x^2 – xy – 4xy + 2y^2 = x(2x – y) – 2y(2x – y) = (x – 2y)(2x – y)
Cách 2: Xét đa thức f(x; y) = y^2[2(x/y)^2 – 5(x/y) + 2]
Đặt [t = x/y] và ta có đa thức 2t^2 – 5t + 2 = 2t^2 – t – 4t + 2 = (2t – 1)(t – 2)
Khi đó ta được f(x; y) = y^2(2t – 1)(t – 2) = (2x – y)(x – 2y)
Chú ý: Quy tắc dấu ngoặc
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “−” đứng trước, ta phải đổi dấu cho tất cả các số hạng trong ngoặc: dấu “−” thành dấu “+” và dấu “+” thành dấu “−”. Khi xóa dấu ngoặc có dấu “+” đứng trước, dấu của các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.
Ví dụ minh họa phương pháp tách hạng tử
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử:
a. 5x^2 – 25x^3 + 10x^3
b. 12x^2y – 18xy^2 – 30y^2
Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) (x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x + 2) – 30
b) 4x^4 – 8x^3 + 3x^2 – 8x + 4
c) 2x^4 – 15x^3 + 35x^2 – 30x + 8
d) 2x^3 – x^2 + 5x + 3
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. 5x^2y^2 – 25x^3y^4 + 10x^3y^3
b. 12x^2y – 18xy^2 – 30y^2
Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử:
Bài tập 4: Dùng phương pháp tách hạng tử và thêm bớt cùng hạng tử phân tích các đa thức dưới đây thành nhân tử:
a) 4x^2 + 16x – 9
b) -5x^2 – 29x – 20
c) x^2 + 2x – 3
d) 3x^2 – 11x + 6
e) 6x^2 + 7x + 2
f) x^2 – 6x + 8
g) 9x^2 + 6x – 8
h) 3x^2 – 8x + 4
Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử (thêm bớt hạng tử)
a) 10x^2 + 4x – 6
b) x^2 + 2x – 15
Đọc thêm tại THPT An Giang
