Sơ đồ Hoocne: Cách sử dụng và bài tập trong cách chia đa thức

by THPT An Giang

Sơ đồ Hoocner có rất nhiều ứng dụng trong việc giúp ta giải nhanh các bài toán. Một trong những ứng dụng đó là áp dụng vào cách chia đa thức cho đa thức. Phân tích đa thức thành nhân tử là kỹ năng và kiến thức cơ bản cho những bài học kinh nghiệm về nhân chia đơn thức, đa thức. Đặc biệt trong những biểu thức phân số có chứa biến hay chia đa thức trong chương trình toán lớp 8. Thông qua sơ đồ Hoocner, các bạn học sinh sẽ nâng cao kiến thức và kỹ năng về cách chia đa thức. Đặc biệt trong những biểu thức phân số có chứa biến hay chia đa thức trong chương trình toán lớp 8 và những lớp sau.

Sử dụng sơ đồ Hoocne để chia đa thức

I. Giới thiệu về sơ đồ Hoocne

Phân tích đa thức thành nhân tử là kiến thức cơ bản cho các bài học về nhân chia đơn thức, đa thức. Đặc biệt trong các biểu thức phân số có chứa biến hay chia đa thức trong chương trình toán lớp 8 và các lớp sau.

Có rất nhiều cách để phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, có những bài toán đa thức các bạn học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc phân tích chúng thành nhân tử.

Chính vì vậy trong bài viết dưới đây, chúng ta sẽ giới thiệu sơ đồ Hoocne nhằm giúp các bạn học sinh tiếp cận được với phương pháp chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử một cách tiết kiệm thời gian và chính xác.

II. Cách sử dụng sơ đồ Hoocne

Sơ đồ Horner (Hoocne/ Hoắc – le/ Hắc – le) được sử dụng để tìm đa thức thương và dư trong phép chia đa thức f(x) cho đa thức x - α. Khi đó, ta thực hiện như sau:

Giả sử cho đa thức f(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + a₂xⁿ⁻² + ... + aₙ₋₁x¹ + aₙ

Khi đó đa thức thương g(x) = b₀xⁿ⁻¹ + b₁xⁿ⁻² + ... + bₙ₋₁ và đa thức dư được xác định theo sơ đồ sau:

Ta được cách làm theo các bước như sau:

Bước 1: Sắp xếp các hệ số của đa thức f(x) theo ẩn giảm dần và đặt số α vào cột đầu tiên của hàng thứ 2. Nếu trong đa thức mà khuyết ẩn nào đó thì ta coi hệ số của nó bằng 0 và vẫn phải điền vào sơ đồ.

Bước 2: Cột thứ 2 của hàng 2 ta hạ hệ số a₀ ở hàng trên xuống. Đây chính là hệ số đầu tiên của g(x) tìm được, tức là b₀.

Bước 3: Lấy số α nhân với hệ số vừa tìm được ở hàng 2 rồi cộng chéo với hệ số hàng 1 (Ví dụ nếu ta muốn tìm hệ số b₁ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy α nhân với hệ số b₀ sau đó cộng với hệ số a₁ ở hàng trên; tương tự như vậy nếu ta muốn tìm hệ số b₂ ở hàng thứ hai, trước tiên ta sẽ lấy α nhân với hệ số b₁ sau đó cộng với hệ số a₂ ở hàng trên,….)

Quy tắc nhớ: NHÂN NGANG, CỘNG CHÉO.

Bước 4: Cứ tiếp tục như vậy cho tới hệ số cuối cùng và kết quả ta sẽ có f(x) = (x - α)(g(x)) + r

hoặc

f(x) = (x - α)(b₀xⁿ⁻¹ + b₁xⁿ⁻² + ... + bₙ₋₁) + r

Chú ý:

• Bậc của đa thức g(x) luôn nhỏ hơn bậc của đa thức f(x) 1 đơn vị vì đa thức chia x - α có bậc là 1.
• Nếu r = 0 thì đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) và x = α sẽ là một nghiệm của đa thức f(x). Trong trường hợp này chính là phân tích đa thức thành nhân tử. Để tìm được α, ta sẽ nhẩm một nghiệm nguyên của đa thức f(x), α chính là nghiệm mà ta vừa nhẩm được.

Ví dụ 1: Thực hiện phép chia đa thức f(x) = x⁴ - 2x³ - 3x² + 7x - 2 cho đa thức x + 3

Lời giải:

Lưu ý rằng: nếu chia cho đa thức x + 3 thì α = -3, còn nếu chia cho đa thức x - 3 thì α = 3

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hoocne như sau:

Đa thức g(x) tìm được ở đây chính là:

g(x) = x³ - 5x² + 12x - 29

và r = 85

Vậy khi chia đa thức f(x) = x⁴ - 2x³ - 3x² + 7x - 2 cho đa thức x + 3 ta được:

f(x) = (x + 3)(x³ - 5x² + 12x - 29) + 85

hoặc

f(x) = (x + 3)(x³ - 5x² + 12x - 29) + 85

Chú ý:

• Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng sơ đồ Hoocne. Vậy thì trong một số trường hợp sau đây ta có thể sử dụng sơ đồ:
• Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.
• Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc cao.
• Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 2).

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình 2x³ - x² - 5x - 2 = 0

Lời giải:

Với phương trình này, khi ta bấm máy tính để tính nghiệm sẽ được 3 nghiệm của phương trình này là x = -1; x = 2; x = -1/2.

Tuy nhiên, trong trình bày bài toán ta không thể viết “Theo máy tính ta được nghiệm của phương trình là….” mà ta sẽ đi phân tích đa thức f(x) = 2x³ - x² - 5x - 2 thành nhân tử.

Việc sử dụng máy tính sẽ cho ta biết được ít nhất 1 nghiệm nguyên của phương trình, từ đó ta có thể sử dụng sơ đồ Hoocne để biến đổi.

Phương trình trên có một nghiệm nguyên x = -1 thì ta sẽ thực hiện phép chia đa thức f(x) = 2x³ - x² - 5x - 2 cho đa thức x + 1.

Dựa vào hướng dẫn trên ta sẽ có sơ đồ Hoocne như sau:

Vậy khi chia đa thức f(x) = 2x³ - x² - 5x - 2 cho đa thức x + 1 ta được:

f(x) = (x + 1)(2x² - 3x - 2)

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ - 4x² + x + 6

b) x³ - 5x² - 2x + 24

c) 2x⁴ - x³ - 17x² + x + 15

d) 3x⁴ + 5x³ - 5x² - 5x + 2

Ví dụ 4: