Tính chất trực tâm trong tam giác: Lý thuyết và các dạng bài tập

Photo of author

By THPT An Giang

[ad_1]

Nội dung đang xem: Tính chất trực tâm trong tam giác: Lý thuyết và các dạng bài tập

Trực tâm là giao điểm của 3 đường cao trong một tam giác. H là trực tâm của tam giác ABC. Đường cao trong tam giác là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện. Cạnh đối diện này được gọi là đáy ứng với đường cao.

Vậy tính chất trực tâm trong tam giác là gì? Cách xác định trực tâm tam giác như thế nào? Tính chất ba đường cao của tam giác ra sao? Mời các bạn lớp 7 hãy cùng Download.vn theo dõi bài viết dưới đây. Qua tài liệu này các bạn sẽ có thêm nhiều gợi ý ôn tập, củng cố kiến thức để biết cách giải nhanh các bài tập Toán 7.

1. Khái niệm Trực tâm

Trực tâm của tam giác là điểm giao nhau của ba đường cao trong tam giác. Tuy nhiên để xác định trực tâm trong tam giác chúng ta không nhất thiết phải vẽ ba đường cao. Khi vẽ hai đường cao của tam giác ta đã có thể xác định được trực tâm của tam giác.

Đối với các loại tam giác thông thường như tam giác nhọn tam giác tù hay tam giác cân tam giác đều thì ta đều có cách xác định trực tâm giống nhau. Từ hai đỉnh của tam giác ta kẻ hai đường cao của tam giác đến hai cạnh đối diện. Hai cạnh đó giao nhau tại điểm nào thì điểm đó chính là trực tâm của tam giác. Và đường cao còn lại chắc chắn cũng đi qua trực tâm của tam giác dù ta không cần kẻ.

Nếu trong một tam giác, có ba đường cao giao nhau tại một điểm thì điểm đó được gọi là trực tâm. Điều này không phải dựa vào mắt thường, mà dựa vào dấu hiệu nhận biết.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm ở miền trong tam giác đó

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chình là đỉnh góc vuông

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm ở miền ngoài tam giác đó

2. Khái niệm đường cao của một tam giác

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap

Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là đường cao của tam giác đó, và mỗi tam giác sẽ có ba đường cao.

3. Tính chất ba đường cao của tam giác

– Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác. Trong hình ảnh bên dưới, S là trực tâm của tam giác LMN.

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 1

– Ba đường cao của tam giác bao gồm các tính chất cơ bản sau:

*Tính chất 1: Trong một tam giác cân thì đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó.

*Tính chất 2: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.

*Tính chất 3: Trong một tam giác, nếu như có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác cân.

*Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn ABC sẽ trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.

*Tính chất 5: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai sẽ là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Xem thêm:  Bài 4 Toán lớp 7: Quy tắc chuyển vế và thứ tự thực hiện các phép tính.

*Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 2Bài làm

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của tam giác ABC.

Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC

Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC

Vậy CH vuông góc với AB.

4. Cách xác định trực tâm của tam giác

Trực tâm của tam giác nhọn

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 3

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm ở miền trong tam giác.

Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với góc vuông E.

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 4

Trực tâm của tam giác tù

Trực tâm của tam giác tù nằm ở miền ngoài tam giác đó.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm ở miền ngoài tam giác

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 5

5. Bài tập thực hành có đáp án

A. Trắc nghiệm

Câu 1.

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B (MA < MB). Vẽ tia Mx vuông góc với AB, trên đó lấy hai điểm C và D sao cho MA = MC, MD = MB.
Tia AC cắt BD ở E. Tính số đo góc widehat {AEB}

A. 300

B. 450

C. 600

D. 900

Đáp án: D

Câu 2

Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?

A. Tam giác cân

B. Tam giác vuông cân

C. Tam giác vuông

D. Tam giác đều.

Đáp án: A

Câu 3. Cho ΔABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho widehat {ABD} = widehat {DBE} = widehat {EBC}. Trên tia đối của tia DB lấy điểm F sao cho DF = BC. Tam giác CDF là tam giác gì?

A. Tam giác cân tại F

B. Tam giác vuông tại D

C. Tam giác cân tại D

D. Tam giác cân tại C

Đáp án: A

B, Tự luận

Bài 1

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

GIẢI

+ Xét ΔABC vuông tại A

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 1

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

begin{aligned}
&widehat{mathrm{CAE}} equiv widehat{mathrm{CAB}} text { là góc tù. }\
&text { Trong } triangle mathrm{ACE} text { có }\
&widehat{mathrm{CAE}}+widehat{mathrm{ACE}}+widehat{mathrm{CEA}}>90^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}+90^{circ}\
&=180^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}>180^{circ}
end{aligned}

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 2: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 3

GIẢI

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

Xem thêm:  408 bài tập trắc nghiệm số hữu tỉ và giá trị tuyệt đối

b)

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

begin{aligned}
&mathrm{LNP}+widehat{mathrm{QMN}}=90^{circ} Rightarrow widehat{mathrm{LNP}}=90^{circ}-widehat{mathrm{QMN}}\
&Delta text { MPS vuông tại } mathrm{P} text { có }\
&widehat{mathrm{QMN}}+overrightarrow{mathrm{MSP}}=90^{circ} Rightarrow widehat{mathrm{MSP}}=90^{circ}-widehat{mathrm{QMP}}\
&Rightarrow widehat{mathrm{LNP}}=widehat{mathrm{MSP}} . text { Mà } widehat{mathrm{LNP}}=50^{circ}(mathrm{gt})\
&Rightarrow widehat{mathrm{MSP}}=50^{circ}\
&+overline{mathrm{MSP}}+mathrm{PSQ}=180^{circ} text 
&Rightarrow widehat{mathrm{PSQ}}=180^{circ}-overline{mathrm{MSP}}=180^{0}-50^{0}=130^{circ}
end{aligned}

Bài 3:

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

GIẢI 

Vẽ hình minh họa:

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 4

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 4:

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Gợi ý đáp án 

+ Xét ΔABC vuông tại A

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap

AB ⏊AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 1

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

begin{aligned}
&widehat{mathrm{CAE}} equiv widehat{mathrm{CAB}} text { là góc tù. }\
&text { Trong } triangle mathrm{ACE} text { có }\
&widehat{mathrm{CAE}}+widehat{mathrm{ACE}}+widehat{mathrm{CEA}}>90^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}+90^{circ}\
&=180^{circ}+widehat{mathrm{ACE}}>180^{circ}
end{aligned}

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 5: Cho hình vẽ

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 3

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Gợi ý đáp án

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

b)

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

begin{aligned}
&mathrm{LNP}+widehat{mathrm{QMN}}=90^{circ} Rightarrow widehat{mathrm{LNP}}=90^{circ}-widehat{mathrm{QMN}}\
&Delta text { MPS vuông tại } mathrm{P} text { có }\
&widehat{mathrm{QMN}}+overrightarrow{mathrm{MSP}}=90^{circ} Rightarrow widehat{mathrm{MSP}}=90^{circ}-widehat{mathrm{QMP}}\
&Rightarrow widehat{mathrm{LNP}}=widehat{mathrm{MSP}} . text { Mà } widehat{mathrm{LNP}}=50^{circ}(mathrm{gt})\
&Rightarrow widehat{mathrm{MSP}}=50^{circ}\
&+overline{mathrm{MSP}}+mathrm{PSQ}=180^{circ} text 
&Rightarrow widehat{mathrm{PSQ}}=180^{circ}-overline{mathrm{MSP}}=180^{0}-50^{0}=130^{circ}
end{aligned}

Bài 7:

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh KN ⊥ IM.

Gợi ý đáp án

Trong một tam giác, ba đường cao đồng quy tại một điểm là trực tâm của tam giác đó.

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 4

l ⊥ d tại J, và M, J ∈ l ⇒ MJ ⟘ IK ⇒ MJ là đường cao của ΔMKI.

N nằm trên đường thẳng qua I và vuông góc với MK ⇒ IN ⟘ MK ⇒ IN là đường cao của ΔMKI.

IN và MJ cắt nhau tại N .

Theo tính chất ba đường cao của ta giác ⇒ N là trực tâm của ΔMKI.

⇒ KN cũng là đường cao của ΔMKI ⇒ KN ⟘ MI.

Vậy KN ⏊ IM

Bài 8: 

Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.

a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.

b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

Gọi D, E, F là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B, C của ΔABC.

⇒ AD ⟘ BC, BE ⟘ AC, CF ⟘ AB.

Xem thêm:  Bài tập Nhân chia các số hữu tỉ

Gợi ý đáp án

Vẽ hình minh họa

tinh chat truc tam trong tam giac ly thuyet va cac dang bai tap 5

a) ΔHBC có :

AD ⊥ BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA ⊥ HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC

CA ⊥ BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

AD, BA, CA cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ΔHCB.

b) Tương tự :

+ Trực tâm của ΔHAB là C (C là giao điểm của ba đường cao : CF, AC, BC)

+ Trực tâm của ΔHAC là B (B là giao điểm của ba đường cao : BE, AB, CB)

Bài 9 

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Gợi ý đáp án:

Bài 4

BE là đường cao của ∆ ABC Rightarrow ∆ ABE vuông tại E.

CF là đường cao của ∆ ABC Rightarrow ∆ AFC vuông tại F.

AD là đường cao của ∆ ABC Rightarrow ∆ ADC vuông tại D.

+ Xét ∆ ABE vuông tại E và ∆ AFC vuông tại F có:

BE = CF

widehat{EAF} chung

Rightarrow  ∆ ABE = ∆ AFC (góc nhọn và một cạnh góc vuông).

Rightarrow  AB = AC (1)

+ Xét ∆CDA vuông tại D và ∆ AFC vuông tại F có:

AC chung

AD = CF

Rightarrow  ∆CDA = ∆AFC (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

Rightarrow  widehat{CAF}= widehat{ACD}

Rightarrow ∆ ABC cân tại B

=> AB = BC (2)

Từ (1), (2) ta có: AB = AC = BC

Rightarrow ∆ ABC đều.

Bài 10 

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC.

b) BE vuông góc với DC.

Gợi ý đáp án:

Bài 3

a) Gọi F là giao điểm của DE và BC

+ AD = AE => ∆ADE cân tại A

∆ABC vuông cân tại A => BA ⊥ AC hay EA ⊥ AD

=> ∆ ADE vuông cân tại A

=> widehat{AED} = widehat{ADE} = 45°

+ ∆ ABC vuông cân tại A

=> widehat{ABC} = widehat{ACB} = 45°

+ Xét ∆EFC có: widehat{FEC} + widehat{FCE} + widehat{EFC} = 180°

=>  45° + 45° + widehat{EFC} = 180°

=> widehat{EFC} = 180° - 90° = 90°

=> EF ⊥ BC hay DE ⊥ BC.

b) Xét tam giác BCD có: CA ⊥ BD => CA là đường cao của ∆ BCD

DE ⊥ BC => DE là đường cao của ∆ BCD

Mà DE giao với CA tại E

=> E là trực tâm của ∆ BCD

=> BE ⊥ CD.

Bài 11 

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Gợi ý đáp án:

Bài 2

Gọi MH giao với BC tại điểm I.

+ Xét ∆MBH và ∆CBH có:

MB = MC

widehat{MBH} = widehat{CBH}

BH chung

=> ∆MBH = ∆CBH (c.g.c)

=> widehat{BMH} = widehat{BCH}

+ Xét tam giác ABC vuông tại A có: widehat{ABC} + widehat{ACB} = 90^{o}

+ Ta có: widehat{BMI} + widehat{ABC} =  widehat{ACB} + widehat{ABC} =  90^{o}

+ Xét tam giác BMI có: widehat{BMI} + widehat{ABC} = 90^{o}

=>  widehat{BIM} =  90^{o}.

=> MI ⊥ BC hay MH vuông góc với BC.

6. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó. Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ta trực tâm của tam giác đó.

Bài 2: Cho đường tròn (O, R) , gọi BC là dây cung cố định của đường tròn và A là một điểm di động trên đường tròn. Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC.

Bài 3: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: IJ ⊥ EF

b) Chứng minh: IE ⊥ JE

Bài 4: Cho △ABC có các đường cao AD;BE;CF cắt nhau tại H. I; J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh: JT⊥EFJT⊥EF

b) Chứng minh: IE⊥JEIE⊥JE

c) Chứng minh: DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P;Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: P;F;E;Q thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng với H qua các đường thẳng chứa các cạnh hay trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn (ABC).

Bài 6: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF. Trực tâm H.DF cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. chứng minh đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm ngoại tiếp của tam giác HBC.

Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có 3 góc ở các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.

[ad_2]

Đăng bởi: THPT An Giang

Chuyên mục: Học Tập

Viết một bình luận