Bài tập toán nâng cao lớp 8

Các dạng bài tập Toán nâng cao lớp 8 là tài liệu luyện thi không thể thiếu dành cho các học sinh tham khảo. Tài liệu thể hiện chi tiết trọng tâm các dạng bài tập Toán 8, giúp học sinh có phương hướng ôn thi chính xác nhất.

Bài tập Toán nâng cao lớp 8 được biên soạn theo các chủ đề trọng tâm, khoa học, phù hợp với mọi đối tượng học sinh có học lực từ khá đến giỏi. Với mỗi chủ đề bao gồm nhiều dạng bài tập tổng hợp với nhiều ý hỏi, phủ kín các dạng toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi. Qua đó giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản; học sinh có học lực khá, giỏi nâng cao tư duy và kỹ năng giải đề với các bài tập vận dụng nâng cao.

Dạng 1: Nhân các đa thức

1. Tính giá trị:

B = x¹⁵ – 8x¹⁴ + 8x¹³ – 8x² + … – 8x² + 8x – 5 với x = 7

2. Cho ba số tự nhiên liên tiếp. Tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50. Hỏi đã cho ba số nào?

3. Chứng minh rằng nếu: thì (x² + y² + z²) (a² + b² + c²) = (ax + by + cz)²

Dạng 2: Các hàng đẳng thức đáng nhớ

*Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

*Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

1. Rút gọn các biểu thức sau:

a. A = 100² – 99²+ 98² – 97² + … + 2² – 1²

b. B = 3(2² + 1) (2⁴ + 1) … (2⁶⁴ + 1) + 1²

c. C = (a + b + c)² + (a + b – c)² – 2(a + b)²

2. Chứng minh rằng:

a. a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab (a + b)

b. a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c) (a² + b² c² – ab – bc – ca)

Suy ra các kết quả:

i. Nếu a³ + b³ + c³ = 3abc thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c

ii. Cho tính

iii. Cho

Tính

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a. A = 4x² + 4x + 11

b. B = (x – 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6)

c. C = x² – 2x + y² – 4y + 7

4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a. A = 5 – 8x – x²

b. B = 5 – x² + 2x – 4y² – 4y

5. a. Cho a² + b² + c² = ab + bc + ca chứng minh rằng a = b = c

6. Chứng minh rằng:

a. x² + xy + y² + 1 > 0 với mọi x, y

b. x² + 4y² + z² – 2x – 6z + 8y + 15 > 0 Với mọi x, y, z

7. Chứng minh rằng:

x² + 5y² + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.

8. Tổng ba số bằng 9, tổng bình phương của chúng bằng 53. Tính tổng các tích của hai số trong ba số ấy.

9. Chứng minh tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.

10. Rút gọn biểu thức:

A = (3 + 1) (3² + 1) (3⁴ + 1) … (3⁶⁴ + 1)

11. a. Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương.

b. Chứng minh rằng tổng các bình phương của k số nguyên liên tiếp (k = 3, 4, 5) không là số chính phương.

Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a. x² – x – 6

b. x⁴ + 4x² – 5

c. x³ – 19x – 30

2. Phân tích thành nhân tử:

a. A = ab(a – b) + b(b – c) + ca(c – a)

b. B = a(b² – c²) + b(c² – a²) + c(a² – b²)

c. C = (a + b + c)³ – a³ – b³ – c³

3. Phân tích thành nhân tử:

a. (1 + x²)² – 4x (1 – x²)

b. (x² – 8)² + 36

c. 81x⁴ + 4

d. x⁵ + x + 1

4. a. Chứng minh rằng: n⁵ – 5n³ + 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n.

b. Chứng minh rằng: n³ – 3n² – n + 3 chia hết cho 48 với mọi số lẻ n.

5. Phân tích các đa thức sau đây thành nhân tử

1. a³ – 7a – 6

2. a³ + 4a² – 7a – 10

3. a(b + c)² + b(c + a)² + c(a + b)² – 4abc

4. (a² + a)² + 4(a² + a) – 12

5. (x² + x + 1) (x² + x + 2) – 12

6. x⁸ + x + 1

7. x¹⁰ + x⁵ + 1

6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lẻ n:

1. n² + 4n + 8 chia hết cho 8

2. n³ + 3n² – n – 3 chia hết cho 48

7. Tìm tất cả các số tự nhiên n để:

1. n⁴ + 4 là số nguyên tố

2. n¹⁹⁹⁴ + n¹⁹⁹³ + 1 là số nguyên tố

8. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

1. x + y = xy

2. p(x + y) = xy với p nguyên tố

3. 5xy – 2y² – 2x² + 2 = 0

Dạng 4: Chia đa thức

1. Xác định a để cho đa thức x³– 3x + a chia hết cho (x – 1)²

2. Tìm các giá trị nguyên của n để là số nguyên

3. Tìm dư trong phép chia đa thức: f(x)+x¹⁹⁹⁴₊x¹⁹⁹³₊1 cho

a. x – 1

b. x² – 1

c. x² + x + 1

4. 1. Xác định các số a va b sao cho:

a. x⁴ + ax² + b chia hết cho:

i. x² – 3x + 2

ii. x² + x + 1

b. x⁴ – x³ – 3x² + ax + b chia cho x² – x – 2 có dư là 2x – 3

c. 2x² + ax + b chia cho x + 1 dư – 6 chia cho x – 2 dư 21

2. Chứng minh rằng

f(x) = (x² – x + 1)¹⁹⁹⁴ + (x² + x – 1)¹⁹⁹⁴ – 2

chia hết cho x – 1. Tìm dư trong phép chia f(x) cho x² – 1

5. Tìm n nguyên để là số nguyên

6. Chứng minh rằng:

a. 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100

b. 9 . 10ⁿ + 18 chia hết cho 27

c. 16ⁿ – 15ⁿ – 1 chia hết cho 255

6. Tìm tất cả các số tự nhiên n để 2ⁿ – 1 chia hết cho 7

7. Chứng minh rằng:

a. 20ⁿ + 16ⁿ – 3ⁿ – 1:323 với n chẵn

b. 11ⁿ + 2 + 122ⁿ + 1:133

c. + 7 :7 với n > 1

Tính chất cơ bản và rút gọn phân thức

………………..

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm Bài tập nâng cao Toán 8