Tam giác là một trong những khái niệm quan trọng mà chúng ta học trong môn Toán, đặc biệt là bất đẳng thức tam giác. Bất đẳng thức tam giác giúp chúng ta hiểu về mối quan hệ giữa ba cạnh trong một tam giác. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về bất đẳng thức tam giác và các ví dụ liên quan. Hãy cùng tôi theo dõi nhé.
1. Bất đẳng thức tam giác là gì?
Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý quan trọng, mà nói rằng trong một tam giác, chiều dài của một cạnh luôn nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn hiệu của hai cạnh còn lại. Đối với một tam giác ABC bất kỳ, chúng ta có:
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB
2. Những bài tập về bất đẳng thức tam giác
Ví dụ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) < 2.
- Gợi ý đáp án:
- Ta có: a/(b + c) < 1 => a/(b + c) < 2a/(a + b + c).
- Tương tự, b/(a + c) < 2b/(a + b + c) và c/(a + b) < 2c/(a + b + c).
- Cộng các vế ta được: a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) < 2a/(a + b + c) + 2b/(a + b + c) + 2c/(a + b + c) = 2.
Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 1 < a/(a + b) + b/(b + c) + c/(c + a) < 2.
- Gợi ý đáp án:
- Ta có: a/(a + b + c) < a/(a + b) < (a + c)/(a + b + c).
- Tương tự, b/(a + b + c) < b/(b + c) < (b + a)/(a + b + c) và c/(a + b + c) < c/(c + a) < (c + b)/(a + b + c).
- Cộng các vế ta được: a/(a + b + c) + b/(a + b + c) + c/(a + b + c) < (a + c)/(a + b + c) + (b + a)/(a + b + c) + (c + b)/(a + b + c) = 2.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và chu vi là 2p. Chứng minh rằng: abc/8 ≥ (p – a)(p – b)(p – c).
- Gợi ý đáp án:
- Ta có: (p – a)(p – b)(p – c) ≥ 2√((p – a)(p – b)).
- Tương tự, (p – b)(p – c)(p – a) ≥ 2√((p – b)(p – c)) và (p – c)(p – a)(p – b) ≥ 2√((p – c)(p – a)).
- Nhân theo vế ta được: (p – a)(p – b)(p – c) ≥ 2√((p – a)(p – b)(p – c)).
Ví dụ 4: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a^2 + b^2 + c^2 ≥ 1/3.
- Gợi ý đáp án:
- Đặt a = x + 1/3, b = y + 1/3, c = z + 1/3. Khi đó, ta có: a^2 = x^2 + 2x/3 + 1/9, b^2 = y^2 + 2y/3 + 1/9, c^2 = z^2 + 2z/3 + 1/9.
- Cộng các vế ta được: a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(x + y + z)/3 + 1/3, (với x + y + z = 0).
- Mà a + b + c = x + y + z + 1 = 1. Thay vào (1) ta được: a^2 + b^2 + c^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 1/3 ≥ 1/3. (đpcm)
Ví dụ 5: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn 1/a + 1/b + 1/c ≤ a + b + c. Tìm giá trị lớn nhất của T = 1/(2 + a^2) + 1/(2 + b^2) + 1/(2 + c^2).
- Gợi ý đáp án:
- Ta có: 2T = (1 – a^2/(2 + a^2)) + (1 – b^2/(2 + b^2)) + (1 – c^2/(2 + c^2)) = 3 – (a^2/(2 + a^2) + b^2/(2 + b^2) + c^2/(2 + c^2)) = 3 – A.
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwartz, ta có: A ≥ (a + b + c)/(a^2 + b^2 + c^2 + 6) = (a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca))/(a^2 + b^2 + c^2 + 6).
- Thay vào (1) ta được: A ≥ 1. (đpcm)
Các bạn học sinh thân mến, chúng ta vừa tìm hiểu về bất đẳng thức tam giác và các ví dụ liên quan. Hi vọng rằng những kiến thức này sẽ giúp bạn trong việc giải quyết các bài tập toán liên quan đến tam giác một cách dễ dàng hơn. Hãy luôn rèn luyện và áp dụng những kiến thức đã học để trở thành những người giỏi trong môn Toán. Đừng quên tham khảo thêm nhiều thông tin bổ ích khác tại THPT An Giang. Chúc các bạn thành công!
