Hệ phương trình đối xứng loại 1 là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi vào lớp 10 môn Toán. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 tổng hợp toàn bộ kiến thức về khái niệm, cách giải kèm theo một số bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 mời các bạn cùng theo dõi tại đây.
Cách giải Hệ phương trình đối xứng loại 1
1. Hệ đối xứng loại 1 là gì?
Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.
Tính chất: Nếu (x₀, y₀) là một nghiệm của hệ phương trình thì (y₀, x₀) cũng là nghiệm của phương trình
2. Cách giải hệ đối xứng loại 1
Đặt { S = x + y; P = xy; S² ≥ 4P } ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P
- Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X² – SX + P = 0 (1).
Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.
3. Ví dụ giải hệ đối xứng loại 1
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau: { x + y + 2xy = 2; x³ + y³ = 8 }
Hướng dẫn giải:
Đặt { S = x + y; P = xy }, ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P
- Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X² – SX + P = 0 (1).
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau: {x + y – √(xy) = 3; √(x + 1) + √(y + 1) = 4}
Hướng dẫn giải:
Điều kiện { xy ≥ 0; x, y ≥ -1 }.
Đặt { S = x + y; P = xy }, ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P
- Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X² – SX + P = 0 (1).
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (3; 3)
Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm của hệ phương trình sau: {2(x + y) = 3(∛(x²y) + ∛(xy²)); √³x + √³y = 6}
Hướng dẫn giải:
Đặt { S = x + y; P = xy }, ta quy hệ phương trình đã cho trở thành {2(S³ – 3SP) = 3SP; S = 6}.
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (8; 9) và (9; 8).
Ví dụ 4: Tìm tập nghiệm của hệ phương trình sau: {√(x² + y²) + √(2xy) = 8√2; √x + √y = 4}
Hướng dẫn giải:
Đặt { S = x + y; P = xy }, ta quy hệ phương trình đã cho trở thành {2(S² + 2P) = 128; S = 16}.
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (64; 64).
Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình { x + y + xy = m; x² + y² = m } có nghiệm.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng nếu x, y, z là nghiệm của hệ phương trình { x² + y² + z² = 8; xy + yz + zx = 4 } thì -8/3 ≤ x, y, z ≤ 8/3.
Ví dụ 7: Cho hai số thực x, y thỏa x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x³ + y³.
Ví dụ 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn (x + y)xy = x² + y² – xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1/x³ + 1/y³.
Đây là những ví dụ luyện tập giúp bạn nắm vững kiến thức về cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1.
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 là một trong những kỹ năng quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong môn Toán. Hi vọng rằng qua bài viết này, các bạn đã nắm vững kiến thức và có thể áp dụng vào giải các bài toán thực tế. Để tìm hiểu thêm về các vấn đề liên quan, bạn có thể truy cập THPT An Giang.
