Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9

Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9 cung cấp những dạng bài tập luyện thi và kiến thức cần thiết về các phương pháp giải toán. Nó giúp học sinh rèn luyện tư duy, suy luận và sáng tạo.

270 Bài toán nâng cao lớp 9 Có đáp án

Tài liệu TOP 270 bài tập nâng cao Toán 9 sẽ cung cấp đủ kiến thức để học sinh từ trung bình trở lên có thể dễ dàng thích nghi và nắm bắt kiến thức. Bên cạnh đó, tài liệu này còn bao gồm các bài tập nâng cao đạt 9, 10 điểm dành cho những bạn học sinh giỏi. Hãy tải tài liệu tại đây.

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp giả sử ngược. Giả sử √7 là số hữu tỉ, tức là có thể biểu diễn dưới dạng phân số không tối giản:

√7 = a/b

Trong đó a và b là hai số nguyên không có yếu tố chung. Ta có:

7 = (a/b)^2
7 = a^2 / b^2
7 * b^2 = a^2

Từ phương trình trên, ta có thể thấy rằng a^2 chia hết cho 7. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu a chia hết cho 7. Vậy, ta có:

a = 7c (với c là số nguyên)

Thay a = 7c vào phương trình ban đầu, ta có:

7 * b^2 = (7c)^2
7 * b^2 = 49c^2
b^2 = 7c^2

Tương tự như trường hợp trước, ta thấy rằng b cũng phải chia hết cho 7. Tuy nhiên, điều đó mâu thuẫn với điều kiện a và b không có yếu tố chung. Do đó, giả thuyết ban đầu là sai. √7 không thể biểu diễn dưới dạng phân số, nên √7 là số vô tỉ.

Câu 2. a) Chứng minh: (ac + bd)^2 + (ad – bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)

Để chứng minh phương trình này, ta sẽ sử dụng công thức nhân đối:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Áp dụng công thức này vào biểu thức cần chứng minh:

(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (ac + bd)(ac + bd) + (ad - bc)(ad - bc)
                          = (ac)^2 + 2acbd + (bd)^2 + (ad)^2 - 2adbc + (bc)^2
                          = ac^2 + 2acbd + bd^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2
                          = a(ac^2 + bd^2) + d(a^2d - 2abc) + b(ac^2 + bd^2) + c(b^2c - 2bcd)
                          = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)

Do đó, phương trình được chứng minh.

b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)^2 ≤ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sẽ sử dụng công thức nhân đôi như ở câu 2a:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Áp dụng công thức này vào biểu thức cần chứng minh:

(ac + bd)^2 ≤ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)
(ac)^2 + 2acbd + (bd)^2 ≤ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2
(a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd) ≤ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2
2acbd ≤ 2abcd
acbd ≤ abcd

Do đó, bất đẳng thức được chứng minh.

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x^2 + y^2.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S, ta sẽ sử dụng kỹ thuật đặt biến ẩn. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức S. Ta có:

S = x^2 + y^2
x + y = 2

Đặt biến ẩn a = x – 1. Khi đó, ta có x = a + 1. Thay vào phương trình x + y = 2:

a + 1 + y = 2
y = 2 - a

Thay x và y vào biểu thức S:

S = (a + 1)^2 + (2 - a)^2
S = a^2 + 2a + 1 + 4 - 4a + a^2
S = 2a^2 - 2a + 5

Để tìm giá trị nhỏ nhất của S, ta xét đạo hàm của S theo a:

S' = 4a - 2

Giá trị nhỏ nhất của S xảy ra khi S’ = 0:

4a - 2 = 0
4a = 2
a = 1/2

Thay a = 1/2 vào biểu thức S:

S = 2(1/2)^2 - 2(1/2) + 5
S = 1/2 - 1 + 5
S = 9/2

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S là 9/2.

Câu 4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: (ab)^2 ≤ (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)

Để chứng minh bất đẳng thức Cauchy, ta sử dụng công thức nhân đôi như ở câu 2a:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Áp dụng công thức này vào biểu thức cần chứng minh:

(ab)^2 ≤ (a^2 + b^2)(a^2 + b^2)
(ab)^2 ≤ (a^2b^2 + 2a^2b^2 + a^2b^2)
(ab)^2 ≤ (4a^2b^2)
(ab)^2 ≤ (ab)^2

Do đó, bất đẳng thức được chứng minh.

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ac

Từ bất đẳng thức Cauchy ở câu 4a, ta có:

(a^2 + b^2)(b^2 + c^2) ≥ (ab)^2 + (bc)^2
a^2b^2 + b^2c^2 ≥ (ab)^2 + (bc)^2

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho (a^2 + b^2) và (c^2 + a^2), ta có:

(a^2 + b^2)(c^2 + a^2) ≥ (ca)^2 + (ab)^2
c^2a^2 + a^2b^2 ≥ (ca)^2 + (ab)^2

Cộng hai bất đẳng thức trên lại với nhau, ta có:

(a^2 + b^2)(b^2 + c^2) + (a^2 + b^2)(c^2 + a^2) ≥ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2
(a^2 + b^2)(b^2 + c^2) + (a^2 + b^2)(c^2 + a^2) ≥ 2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2

Rút gọn biểu thức trên, ta được:

(a^2 + b^2)(b^2 + c^2) + (a^2 + b^2)(c^2 + a^2) ≥ 2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2
(a^2 + b^2 + c^2)^2 ≥ 2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2

Do đó, ta có:

(a^2 + b^2 + c^2)^2 ≥ 2(ab)^2 + 2(bc)^2 + 2(ca)^2
a^2 + b^2 + c^2 ≥ ab + bc + ca

Bất đẳng thức được chứng minh.

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

Để tìm giá trị lớn nhất của P, ta sẽ sử dụng phương pháp đặt biến ẩn. Giả sử giá trị lớn nhất của P là m. Ta có:

P = ab
3a + 5b = 12

Đặt biến ẩn x = 3a và y = 5b. Khi đó, ta có:

x + y = 12
a = x/3
b = y/5

Thay a và b vào biểu thức P:

P = (x/3)(y/5)
  = xy/15
  = m (giả sử P đạt giá trị lớn nhất)

Từ x + y = 12, ta suy ra y = 12 – x. Thay vào biểu thức P:

P = x(12 - x)/15

Để tìm giá trị lớn nhất của P, ta tìm cực trị của hàm số trên đoạn xác định 0 ≤ x ≤ 12. Để làm điều này, ta lấy đạo hàm của P theo x:

P' = (12 - 2x)/15

Giá trị lớn nhất của P xảy ra khi P’ = 0:

(12 - 2x)/15 = 0
12 - 2x = 0
2x = 12
x = 6

Thay x = 6 vào biểu thức P:

P = 6(12 - 6)/15
P = 36/15
P = 12/5

Do đó, giá trị lớn nhất của P là 12/5.

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a^3 + b^3.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M, ta sẽ sử dụng phương pháp đặt biến ẩn. Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức M. Ta có:

M = a^3 + b^3
a + b = 1

Đặt biến ẩn x = a – 1. Khi đó, ta có a = x + 1. Thay vào phương trình a + b = 1:

x + 1 + b = 1
b = -x

Thay a và b vào biểu thức M:

M = (x + 1)^3 + (-x)^3
M = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3
M = 3x^2 + 3x + 1

Để tìm giá trị nhỏ nhất của M, ta xét đạo hàm của M theo x:

M' = 6x + 3

Giá trị nhỏ nhất của M xảy ra khi M’ = 0:

6x + 3 = 0
6x = -3
x = -1/2

Thay x = -1/2 vào biểu thức M:

M = 3(-1/2)^2 + 3(-1/2) + 1
M = 3(1/4) - 3/2 + 1
M = 3/4 - 3/2 + 1
M = 3/4 - 6/4 + 4/4
M = 1/4

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là 1/4.

Câu 6. Cho a^3 + b^3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N, ta sẽ sử dụng phương pháp đặt biến ẩn. Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức N. Ta có:

N = a + b
a^3 + b^3 = 2

Đặt biến ẩn x = a^3 và y = b^3. Khi đó, ta có:

x + y = 2
a^3 = x
b^3 = y

Thay a và b vào biểu thức N:

N = (x)^(1/3) + (y)^(1/3)

Để tìm giá trị lớn nhất của N, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N^3. Ta gọi biểu thức này là P:

P = N^3 = ((x)^(1/3) + (y)^(1/3))^3
P = x + y + 3(x)^(1/3)(y)^(1/3)(x)^(1/3) + 3(x)^(1/3)(y)^(1/3)(y)^(1/3) + (y)^(1/3)(x)^(1/3)(y)^(1/3)
P = x + y + 3(x^2y)^(1/3) + 3(xy^2)^(1/3) + (xy)^(1/3)

Từ x + y = 2, ta có xy ≤ 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

3(x^2y)^(1/3) + 3(xy^2)^(1/3) + (xy)^(1/3) ≤ 3(x^2y + xy^2 + xy)^(1/3) ≤ 3(x + y + xy)^(1/3) ≤ 3(2 + 1)^(1/3) ≤ 3(3)^(1/3)

Vậy:

P = x + y + 3(x^2y)^(1/3) + 3(xy^2)^(1/3) + (xy)^(1/3) ≤ 2 + 3(3)^(1/3)

Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức N là 3(3)^(1/3).

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a^3 + b^3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Ta sẽ sử dụng định lí Schur để chứng minh bất đẳng thức trên. Định lí Schur được phát biểu như sau:

Đối với a, b, c là các số dương và n là một số nguyên dương, ta có:

a^n(a - b)(a - c) + b^n(b - c)(b - a) + c^n(c - a)(c - b) ≥ 0

Áp dụng định lí Schur, ta có:

a^3(a - b)(a - c) + b^3(b - c)(b - a) + c^3(c - a)(c - b) ≥ 0

Rút gọn biểu thức trên:

a^4 - a^3b - a^3c + ab^3 + b^4 - b^3c + ac^3 - bc^3 + c^4 ≥ 0
a^3(a - b) - a^3(c - a) + b^3(b - c) - c^3(c - b) ≥ 0
a^3(a - b + c - a) + b^3(b - c) - c^3(c - b) ≥ 0
(a^3 + b^3 + c^3) - a^3 + b^3 - c^3 ≥ 0
a^3 + b^3 + c^3 ≥ a^3 - b^3 + c^3
a^3 + b^3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Do đó, bất đẳng thức được chứng minh.

Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a – b|

Để tìm liên hệ giữa a và b, ta sẽ xét các trường hợp:

Trường hợp 1: a > 0 và b > 0

Khi đó, ta có:

|a + b| > |a - b|
a + b > a - b
2b > 0
b > 0

Trường hợp 2: a > 0 và b < 0

Khi đó, ta có:

|a + b| > |a - b|
a + b > -(a - b)
2b > -2a
b > -a

Trường hợp 3: a < 0 và b > 0

Khi đó, ta có:

|a + b| > |a - b|
-(a + b) > a - b
2a > -2b
a > -b

Trường hợp 4: a < 0 và b < 0

Khi đó, ta có:

|a + b| > |a - b|
-(a + b) > -(a - b)
2a > 2b
a > b

Từ các trường hợp trên, ta có thể kết luận rằng liên hệ giữa a và b là a > b.