Giải Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

[ad_1]

Nội dung đang xem: Giải Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Giải Toán 9 bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức giúp các em học sinh lớp 9 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập phần câu hỏi và bài tập được nhanh chóng và dễ dàng hơn.

Giải Toán 9 trang 10,11, 12 giúp các em hiểu được thế nào căn bậc hai số học, hằng đẳng thức và các dạng toán cơ bản. Giải Toán 9 bài 2 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài, đồng thời là tư liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh học tập. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Giải Toán lớp 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức, mời các bạn cùng tải tại đây.

Giải Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $sqrt {{A^2}} = left| A right|$

1. Căn thức bậc hai

Xem thêm: Tìm m để hàm số là hàm số bậc nhất

Với $sqrt A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A. Khi đó, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

$sqrt A$ xác định hay có nghĩa khi A lấy giá trị không âm.

2. Hằng đẳng thức $sqrt {{A^2}} = left| A right|$

Với mọi số a, ta có $sqrt {{a^2}} = left| a right|.$

* Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có

$sqrt {{A^2}} = left| A right|$ nghĩa là

$sqrt {{A^2}} = A$ nếu $A ge 0$ và $sqrt {{A^2}} = - A$ nếu A < 0.

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Tìm điều kiện để căn thức xác định

Ta có $sqrt A$ xác định hay có nghĩa khi $Age 0$

Ví dụ: $sqrt {x - 1}$ xác định khi $x - 1 ge 0 Leftrightarrow x ge 1$

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Sử dụng: Với A là một biểu thức ta có $sqrt {{A^2}} = left| A right|$

Vì dụ: Với x>2 ta có: $A = dfrac{{sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}{{x - 2}} = dfrac{{sqrt {{{left( {x - 2} right)}^2}} }}{{x - 2}} = dfrac{{left| {x - 2} right|}}{{x - 2}} = dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} = 1$

Trả lời câu hỏi trang 8 SGK Toán 9 tập 1

Câu 1

Hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC = 5cm và cạnh BC = x (cm) thì cạnh $AB = sqrt {25 - {x^2}} left( {cm} right)$ . Vì sao? (h.2)

giai toan 9 bai 2 can thuc bac hai va hang dang thuc

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí Pi – ta – go vào tam giác ABC vuông tại B có:

$eqalign{& A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} Leftrightarrow A{B^2} + {x^2} = {5^2} cr & Leftrightarrow A{B^2} = 25 - {x^2} cr & Rightarrow AB = sqrt {left( {25 - {x^2}} right)} ,,,left( {do,,AB > 0} right) cr}$

Câu 2

Với giá trị nào của x thì $sqrt {5 - 2x}$ xác định?

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để căn thức $sqrt {5 - 2x}$ xác định (có nghĩa) là:

$5 - 2x geqslant 0 Leftrightarrow 2x leqslant 5 Leftrightarrow x leqslant frac{5}{2}$

Câu 3

Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

giai toan 9 bai 2 can thuc bac hai va hang dang thuc 2

Hướng dẫn giải:

a	-2	-1	2	3
a²	4	1	4	9
√ a 2	2	1	2	3

Giải bài tập toán 9 trang 10, 11, 12 tập 1

Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)

Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $sqrt{dfrac{a}{3}}$ có nghĩa khi $dfrac{a}{3}geq 0Leftrightarrow ageq 0$

b) Ta có: $sqrt{-5a}$ có nghĩa khi $-5ageq 0Leftrightarrow aleq dfrac{0}{-5}Leftrightarrow aleq 0$

Xem thêm: Giải Toán 9 Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

c) Ta có: $sqrt{4 - a}$ có nghĩa khi $4-ageq 0 Leftrightarrow -ageq -4 Leftrightarrow aleq 4$

d) Ta có: $sqrt{3a + 7}$ có nghĩa khi $3a+7geq 0Leftrightarrow 3a geq -7 Leftrightarrow ageq dfrac{-7}{3}$

Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)

Tính:

Gợi ý đáp án

a) $a. sqrt {{{left( {0,1} right)}^2}}$

Ta có: $sqrt {{{left( {0,1} right)}^2}} = left| {0,1} right| = 0,1$

b) $b. sqrt {{{left( { - 0,3} right)}^2}}$

Ta có: $sqrt {{{left( { - 0,3} right)}^2}} = left| { - 0,3} right| = 0,3$

c) $- sqrt {{{left( { - 1,3} right)}^2}}$

Ta có: $- sqrt {{{left( { - 1,3} right)}^2}} = - left| { - 1,3} right| = -1,3$

d. $- 0,4sqrt {{{left( { - 0,4} right)}^2}}$

Ta có:

$- 0,4sqrt {{{left( { - 0,4} right)}^2}} = - 0,4.left| {-0,4} right| = - 0,4.0,4$

= – 0,16

Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}}$

c) $2sqrt {{a^2}}$ với a ≥ 0

b) $sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}}$

d) $3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}}$ với a < 2.

Gợi ý đáp án

a) $sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}}$

Ta có: $sqrt {{{left( {2 - sqrt 3 } right)}^2}} = left| {2 - sqrt 3 } right|=2- sqrt{3}$

(Vì 4>3 nên $sqrt{4} > sqrt{3} Leftrightarrow 2> sqrt{3} Leftrightarrow 2- sqrt{3}>0 .$

$Leftrightarrow left| {2 - sqrt 3 } right| =2- sqrt{3})$

b) $sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}}$

Ta có: $sqrt {{{left( {3 - sqrt {11} } right)}^2}} = left| {3 - sqrt {11} } right| =sqrt{11}-3.$

(Vì 9<11 nên $sqrt{9} < sqrt{11} Leftrightarrow 3< sqrt{11} Leftrightarrow 3- sqrt{11} <0$

$Leftrightarrow left| {3 - sqrt {11} } right| =-(3- sqrt{11})=sqrt{11}-3)$

c) $2sqrt {{a^2}}$ với a ≥ 0

Ta có: $2sqrt {{a^2}} = 2left| a right| = 2{rm{a}} (vì a ge 0 )$

d) $3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}}$ với a < 2.

Vì a < 2 nên a – 2<0

$Leftrightarrow left| a-2 right|=-(a-2)=2-a$

Do đó: $3sqrt {{{left( {a - 2} right)}^2}} = 3left| {a - 2} right| = 3left( {2 - a} right) = 6 - 3a.$

Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x biết:

Gợi ý đáp án

a) $sqrt {{x^2}} = 7$

Ta có:

$eqalign{ & sqrt {{x^2}} = 7 cr & Leftrightarrow left| x right| = 7 cr & Leftrightarrow x = pm 7 cr}$

Vậy $x= pm 7.$

b) $sqrt {{x^2}} = left| { - 8} right|$

Ta có:

$eqalign{ & sqrt {{x^2}} = left| { - 8} right| cr & Leftrightarrow left| x right| = 8 cr & Leftrightarrow x = pm 8 cr}$

Vậy $x= pm 8 .$

c) $sqrt {4{{rm{x}}^2}} = 6$

Ta có:

$eqalign{ & sqrt {4{x^2}} = 6 cr & Leftrightarrow sqrt {{{left( {2x} right)}^2}} = 6 cr & Leftrightarrow left| {2x} right| = 6 cr & Leftrightarrow 2x = pm 6 cr & Leftrightarrow x = pm 3 cr}$

Vậy $x= pm 3 .$

d) $sqrt {9{{rm{x}}^2}} = left| { - 12} right|$

Ta có:

$eqalign{ & sqrt {9{x^2}} = left| { - 12} right| cr & Leftrightarrow sqrt {{{left( {3x} right)}^2}} = 12 cr & Leftrightarrow left| {3x} right| = 12 cr & Leftrightarrow 3x = pm 12 cr & Leftrightarrow x = pm 4 cr} .$

Vậy $x= pm 4 .$

Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh

a) $(sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2sqrt{3}$

b) $sqrt{4 - 2sqrt{3}}- sqrt{3} = -1$

Gợi ý đáp án

a) $(sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2sqrt{3}$

Ta có: $VT={left( {sqrt 3 - 1} right)^2} = {left( {sqrt 3 } right)^2} - 2. sqrt 3 .1 + {1^2}$

$= 3 - 2sqrt 3 + 1 =(3+1)-2sqrt 3 = 4 - 2sqrt 3 = VP$

Vậy $(sqrt{3}- 1)^{2}= 4 - 2sqrt{3} (đpcm)$

b) $sqrt{4 - 2sqrt{3}}- sqrt{3} = -1$

Ta có:

$VT= sqrt {4 - 2sqrt 3 } - sqrt 3 = sqrt {left( {3 + 1} right) - 2sqrt 3 } - sqrt 3$

$= sqrt {3 - 2sqrt 3 + 1} - sqrt 3$

$= sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} - 2.sqrt 3 .1 + {1^2}} - sqrt 3$

$= left| {sqrt 3 - 1} right| - sqrt 3$

$=sqrt 3 -1 - sqrt 3$

$= (sqrt 3 - sqrt 3) -1= -1 = VP.$

(do $3>1 Leftrightarrow sqrt 3 > sqrt 1 Leftrightarrow sqrt 3 > 1 Leftrightarrow sqrt 3 -1 > 0$

$Rightarrow left| sqrt 3 -1 right| = sqrt 3 -1)$

Giải bài tập toán 9 trang 11, 12 tập 1: Luyện tập

Bài 11 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Tính:

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $sqrt{16}.sqrt{25} + sqrt{196}:sqrt{49}$

$=sqrt{4^2}.sqrt{5^2}+sqrt{14^2}:sqrt{7^2}$

$=left| 4 right| . left| 5 right| + left| {14} right| : left| 7 right|$

=4.5+14:7

=20+2=22 .

b) Ta có:

$36:sqrt{2.3^2.18}-sqrt{169}$

$=36:sqrt{(2.9).18} - left| 13 right|$

$=36:sqrt{18.18}-13$

$=36:sqrt{18^2}-13 =36: left|18 right| -13$

=36:18-13

=2-13=-11.

c) Ta có: $sqrt{81}=sqrt{9^2}=left| 9 right| = 9.$

$Rightarrow sqrt{sqrt{81}}=sqrt{9}= sqrt{3^2}=left| 3 right| =3.$

d) Ta có: $sqrt{3^{2}+4^{2}}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=sqrt{5^2}=left|5 right| =5.$

Bài 12 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x để mỗi căn thức sau có nghĩa:

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

$sqrt{2x + 7}$ có nghĩa khi và chỉ khi: $2x + 7geq 0$

$Leftrightarrow 2x geq -7$

$displaystyle Leftrightarrow x geq {{ - 7} over 2}.$

b) Ta có

$sqrt{-3x + 4}$ có nghĩa khi và chỉ khi: $-3x + 4geq 0$

$Leftrightarrow -3xgeq -4$

$displaystyle Leftrightarrow xleq {-4 over {- 3}}$

$displaystyle Leftrightarrow xleq {4 over { 3}}$

c) Ta có:

$sqrt{dfrac{1}{-1 + x}}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$displaystyle {1 over displaystyle { - 1 + x}} ge 0 Leftrightarrow - 1 + x > 0$

$Leftrightarrow x > 1$

d) $sqrt{1 + x^{2}}$

Ta có: $x^2geq 0$ , với mọi số thực x

$Leftrightarrow x^2+1 geq 0+ 1$ , (Cộng cả 2 vế của bất đẳng thức trên với 1)

Xem thêm: Tìm điều kiện tham số m để ba đường thẳng đồng quy

$Leftrightarrow x^2+1 geq 1$ , mà 1 >0

$Leftrightarrow x^2+1 >0$

Vậy căn thức trên luôn có nghĩa với mọi số thực x.

Bài 13 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2sqrt {{a^2}} - 5a$ với a < 0.

b) $sqrt{25a^{2}}+ 3a$ với a ≥ 0.

c) $sqrt {9{a^4}} + 3{a^2},$

d) $5sqrt{4a^{6}} - 3a^{3}$ với a < 0

Gợi ý đáp án

a) Ta có: $2sqrt{a^2}-5a=2|a|-5a$

$=2.(-a)-5a (vì a<0 nên left| a right| =-a )$

=-2a-5a

=(-2-5)a

=-7a

Vậy $2 sqrt{a^2}-5a=-7a.$

b) Ta có: $sqrt{25a^{2}} + 3a= sqrt{5^2.a^2}+3a$

$=sqrt{(5a)^2}+3a$

$=left| 5 aright| +3a$

=5a+3a

=(5+3)a

=8a.

(vì $ageq 0Rightarrow |5a|=5a$ )

c) Ta có: $sqrt{9a^{4}}+3a^2= sqrt{3^2.(a^2)^2}+ 3a^2$

$=sqrt{(3a^2)^2}+3a^2$

$=left| 3 a^2right| +3a^2$

$=3a^2 + 3a^2$

$=(3+3)a^2$

$=6a^2.$

(Vì $a^2geq 0$ với mọi $a,,in,,mathbb{R}Rightarrow |3a^2|=3a^2$ ).

d) Ta có:

$5sqrt{4a^{6}} - 3a^3=5sqrt{2^2.(a^3)^2} -3a^3$

$=5.sqrt{(2a^3)^2}-3a^3$

$=5.left| 2a^3 right| -3a^3$

$=5.2.(-a^3)-3a^3$ (vì a<0 nên $|2a^3|=-2a^3$ )

$=10.(-a^3) - 3a^3$

$=-10a^3-3a^3 =(-10-3)a^3$

= $-13a^3.$

Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Phân tích thành nhân tử:

c) x² + 2√3 x + 3 ;

d) x² – 2√5 x + 5

Gợi ý đáp án

a) x² – 3 = x² – (√3)² = (x – √3)(x + √3)

b) x² – 6 = x² – (√6)² = (x – √6)(x + √6)

c) x² + 2√3 x + 3 = x² + 2√3 x + (√3)²

= (x + √3)²

d) x² – 2√5 x + 5 = x² – 2√5 x + (√5)²

= $x^2-2sqrt{5}x+5=x^2-2.x.sqrt{5}+(sqrt{5})^2$

$=(x-sqrt{5})^2$

Bài 15 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Giải các phương trình sau:

a) x² – 5 = 0 ;

b) x² – 2√11 x + 11 = 0

Gợi ý đáp án

a) x² – 5 = 0 ⇔ x² = 5 ⇔ x₁ = √5; x₂ = -√5

Vậy phương trình có hai nghiệm x₁ = √5; x₂ = -√5

Cách khác:

x² – 5 = 0 ⇔ x² – (√5)² = 0

⇔ (x – √5)(x + √5) = 0

hoặc x – √5 = 0 ⇔ x = √5

hoặc x + √5 = 0 ⇔ x = -√5

b) x² – 2√11 x + 11 = 0

⇔ x² – 2√11 x + (√11)² = 0

⇔ (x – √11)² = 0

⇔ x – √11 = 0 ⇔ x = √11

Vậy phương trình có một nghiệm là x = √11

Bài 16 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 1)

Đố. Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh “Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây:

giai toan 9 bai 2 can thuc bac hai va hang dang thuc 3

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

m² + V² = V² + m²

Cộng cả hai vế với -2Mv, ta có:

m² – 2mV + V² = V² – 2mV + m²

hay (m – V)² = (V – m)².

Lấy căn bậc hai mỗi vế của đẳng thức trên, ta được:

√(m – V)² = √(V – m)²

Do đó m – V = V – m

Từ đó ta có 2m = 2V, suy ra m = V. Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).

Gợi ý đáp án

Sai lầm ở chỗ: sau khi lấy căn hai vế của (m – V)² = (V – m)² ta phải được kết quả |m – V| = |V – m| chứ không thể có m – V = V – m (theo hằng đẳng thức √A² = |A|.

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi.

[ad_2]

Đăng bởi: THPT An Giang

Chuyên mục: Học Tập

Giải Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Lý thuyết Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $sqrt {{A^2}} = left| A right|$

Trả lời câu hỏi trang 8 SGK Toán 9 tập 1

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Giải bài tập toán 9 trang 10, 11, 12 tập 1

Bài 6 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 7 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 8 (trang 10 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 9 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 10 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Giải bài tập toán 9 trang 11, 12 tập 1: Luyện tập

Bài 11 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 12 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 13 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 14 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 15 (trang 11 SGK Toán 9 Tập 1)

Bài 16 (trang 12 SGK Toán 9 Tập 1)

Văn mẫu lớp 9: Nghị luận về ước mơ trong cuộc sống

Bộ đề thi học kì 2 môn GDCD lớp 9 năm 2021 – 2022

Viết một bình luận Hủy