Giải Toán 8 Bài 2: Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét

Trên hình 13a ta có:

vì nên

⇒ PM và BC không song song. (Theo định lí Talet đảo)

Ta có

(Theo định lí TaLet đảo)

Trong hình 13b

Ta có:

(Theo định lí TaLet đảo) (1)

Có (gt)

Mà hai góc và ở vị trí so le trong

Suy ra (2)

Từ (1) và (2) suy ra .

* Trong hình 14a

MN // EF, theo hệ quả định lí Ta-lét ta có:

Mà DE = MD + ME = 9,5 + 28 = 37,5.

* Trong hình 14b

Ta có A’B’ ⊥ AA’ (giả thiết) và AB ⊥ AA’ (giả thiết)

(từ vuông góc đến song song)

(Theo hệ quả định lí Ta-let)

hay

∆ABO vuông tại A nên áp dụng định lý Pitago ta có:

a) – Mô tả cách làm:

+ Vẽ đoạn thẳng PQ song song với AB, PQ có độ dài bằng 3 đơn vị.

+ E, F nằm trên PQ sao cho PE = EF = FQ = 1. Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng PB và QA

+ Vẽ các đường thẳng EO, FO cắt AB tại C và D.

Khi đó ta được AC = CD = DB.

– Chứng minh AC = CD = DB:

Theo hệ quả định lý Ta-let ta có:

ΔOAC có FQ // AC (F ∈ OC, Q ∈ OA) ⇒

ΔOCD có EF // CD (E ∈ OD, F ∈ OC) ⇒

ΔODB có PE // BD (P ∈ OB, E ∈ OD) ⇒

Từ 3 đẳng thức trên suy ra

Mà FQ = EF = PE ⇒ AC = CD = DB (đpcm).

b) Tương tự chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn bằng nhau thực hiện như hình vẽ sau

Ngoài cách trên, ta có thể chia một đoạn thẳng thành 5 đoạn bằng nhau bằng cách vẽ thêm một đoạn thẳng AC bằng 5 đơn vị, chia đoạn thẳng AC thành 5 đoạn thẳng bằng nhau, mỗi đoạn bằng 1 đơn vị: AD = DE = EF = FG = GC.

Từ các điểm D, E, F, G ta kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt AB tại H, I, J, K. Khi đó ta thu được các đoạn thẳng AH = HI = IJ = JK = KB.

Gọi DH và BK lần lượt là khoảng cách từ B và D đến cạnh AC.

Ta có DH // BK (vì cùng vuông góc với AC)

(theo hệ quả định lý Ta Let)

Mà AB = AD + DB (giả thiết)

(cm)

Vậy

Vậy tỉ số khoảng cách từ điểm D và B đến AC bằng

a) Vì B’C’ // BC (1) (theo hệ quả định lý TaLet)

Trong ∆ABH có BH’ // BH (2) (định lý TaLet)

Từ (1) và (2)

b) B’C’ // BC mà AH ⊥ BC nên AH’ ⊥ B’C’ hay AH’ là đường cao của ∆AB’C’.

Giả thiết: .

Áp dụng kết quả câu a) ta có:

a) ∆ABC có MN // BC (gt)

(kết quả bài tập 10) (định lý TaLet)

Mà AK = KI = IH.

Nên

∆ABC có EF // BC (gt)

(định lý TaLet)

b) Theo câu a) ta có:

Nên:

Do đó

+ Mô tả cách làm:

* Chọn một điểm A cố định bên mép bờ sông bên kia (chẳng hạn như là một thân cây), đặt hai điểm B và B’ thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ còn lại và AB chính là khoảng cách cần đo.

* Trên hai đường thẳng vuông góc với AB’ tại B và B’ lấy C và C’ sao cho A,C,C’ thẳng hàng.

* Đo độ dài các đoạn BB’= h, BC= a, B’C’= a’. Từ đó ta sẽ tính được đoạn AB=x.

+ Giải:

Ta có: BC ⊥ AB’ và B’C’ ⊥ AB’ ⇒ BC // B’C’

Xét ΔAB’C’ có BC // B’C’ (B ∈ AB’, C ∈ AC’)

⇒ (hệ quả định lý Talet) mà AB’ = x + h nên

Vậy khoảng cách AB bằng

a) Cách tiến hành:

– Đặt hai cọc thẳng đứng, di chuyển cọc 2 sao cho 3 điểm A,F,K nằm trên một đường thẳng.

– Dùng sợi dây căng thẳng qua 2 điểm F và K để xác định điểm C trên mặt đất (3 điểm F,K,C thẳng hàng).

b) ∆ABC có AB // DK nên

(theo hệ quả định lí Talet)

Vậy chiều cao của bức tường .

a) Cách dựng:

– Vẽ hai tia Ox, Oy không đối nhau.

– Trên tia Ox lấy hai điểm M,B sao cho OM =1;OB=2 đơn vị.

– Trên tia Oy lấy điểm A sao cho OA=m

– Nối MA.

– Vẽ đường thẳng đi qua B và song song với MA cắt Oy tại C thì OC=x là đoạn thẳng cần dựng.

Chứng minh:

Xét tam giác OBC có MN//BC nên:

(theo hệ quả định lí Talet)

b) Cách dựng:

– Vẽ hai tia Ox và Oy không đối nhau.

– Trên tia Ox đặt hai đoạn OA= 2 đơn vị, OB= 3 đơn vị.

– Trên tia Oy đặt đoạn OB’ = n

– Nối BB’

– Vẽ đường thẳng qua A song song với BB’ cắt Oy tại A’ và đặt OA’ = x.

Khi đó OA’ là đoạn thẳng cần dựng.

Chứng minh:

Xét tam giác OBB’ có: AA’ // BB’

(theo hệ quả định lí Talet)

hay

c) Cách dựng:

– Vẽ tia Ox, Oy không đối nhau.

– Trên tia Ox đặt đoạn OA= m, OB= n

– Trên tia Oy đặt đoạn OB’ = p

– Vẽ đường thẳng qua A và song song với BB’ cắt Oy tại A’ thì OA’ = x là đoạn thẳng cần dựng.

Chứng minh:

Xét tam giác OBB’ có AA’ // BB’

(theo hệ quả định lí Talet) hay