Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

[ad_1]

Nội dung đang xem: Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn giúp các em học sinh lớp 9 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập phần câu hỏi và bài tập được nhanh chóng và dễ dàng hơn.

Giải Toán 9 trang 76, 77 giúp các em hiểu được thế nào là Tỉ số lượng giác của góc nhọn, các dạng toán thường gặp. Giải Toán 9 bài 2 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài, đồng thời là tư liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh học tập. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Giải Toán lớp 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn, mời các bạn cùng tải tại đây.

Danh Mục Bài Viết

Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa Tỉ số lượng giác của góc nhọn

ly thuyet ti so luong giac

$\sin \alpha = \dfrac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}} = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha = \dfrac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}$

$\tan \alpha = \dfrac{{cạnh\, đối}}{{cạnh\,kề}} = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha = \dfrac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}$

2. Các dạng toán thường gặp

Xem thêm: Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Dạng 1: Tính Tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp:

Sử dụng các Tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc

Phương pháp:

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”)

Bước 2: Với góc nhọn $\alpha ,\,\beta$ ta có: $\sin \alpha < \sin \beta \Leftrightarrow \alpha < \beta ;\cos \alpha < \cos \beta \Leftrightarrow \alpha > \beta ;$

$\tan \alpha < \tan \beta \Leftrightarrow \alpha < \beta ;\cot \alpha < \cot \beta \Leftrightarrow \alpha > \beta .$

Dạng 3: Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức

+ Nếu $\alpha$ là một góc nhọn bất kỳ thì

$0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1, \tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0 , {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\tan \alpha .\cot \alpha = 1$

$\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};$

$1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }};1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Giải bài tập toán 9 trang 76, 77 tập 1

Bài 10 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34^o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34^o.

Gợi ý đáp án

ΔABC vuông tại A có góc C = 34^o.

Khi đó:

Tỉ số lượng giác của góc $\widehat{B}=34^o$ là:

$\sin 34^o=\sin B=\dfrac{AC}{BC}$

$\cos 34^o=\cos B=\dfrac{AB}{BC}$

$\tan 34^o=\tan B=\dfrac{AC}{AB}$

$\cot 34^o=\tan C=\dfrac{AB}{AC}$

bai 10 trang 76

Bài 11 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Gợi ý đáp án

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại C, áp dụng định lí Pytago, ta có:

$AB^2=CB^2+AC^2$

$\Leftrightarrow AB^2=0,9^2+1,2^2 \Leftrightarrow AB^2=0,81+1,44=2,25$

$\Leftrightarrow AB=\sqrt{2,25}=1,5m$

bai 11 trang 76

Vì $\Delta{ABC}$ vuông tại C nên góc B và A là hai góc phụ nhau. Do vậy, ta có:

$\sin A=\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1,2}{1,5}=\dfrac{4}{5}$

$\cos A=\sin B=\dfrac{AC}{AB} =\dfrac{0,9}{1,5}=\dfrac{3}{5}$

$\tan A=\cot B=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1,2}{0,9}=\dfrac{4}{3}$

$\cot A=\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{0,9}{1,2}=\dfrac{3}{4}$

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

Xem thêm: Giải Toán 9 Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 12 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45^o: sin60^o, cos75^o, sin52^o30′, cotg82^o, tg80^o

Gợi ý đáp án

(Áp dụng tính chất lượng giác của hai góc phụ nhau.)

Vì 60^o + 30^o = 90^o nên sin60^o = cos30^o

Vì 75^o + 15^o = 90^o nên cos75^o = sin15^o

Vì 52^o30′ + 37^o30′ = 90^o nên sin 52^o30’= cos37^o30′

Vì 82^o + 8^o = 90^o nên cotg82^o = tg8^o

Vì 80^o + 10^o = 90^o nên tg80^o = cotg10^o

Giải bài tập toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập

Bài 13 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Gợi ý đáp án

Dựng góc nhọn $\alpha$ , biết:

$a. \sin\alpha =\dfrac{2}{3}$

Ta thực hiện các bước sau:

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho: OA=2.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A, bán kính 3. Cung tròn này cắt Oy tại điểm B.

– Nối A với B. Góc OBA là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \alpha = \sin \widehat{OBA} = \dfrac{OA}{AB}=\dfrac{2}{3}.$

bai 13 trang 77

b. $\cos\alpha =0,6$

Ta có: $\cos \alpha =0,6 = \dfrac{3}{5}$

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho OA=3.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A bán kính 5. Cung tròn này cắt tia Oy tại B.

– Nối A với B. Góc $\widehat{OAB}=\alpha$ là góc cần dựng.

Thật vậy, Xét $\Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\cos \alpha =\cos \widehat{OAB}=\dfrac{OA}{AB}=\dfrac{3}{5}=0,6.$

bai 13 trang 77 1

$c. \tan \alpha =\dfrac{3}{4}$

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=4.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3.

Xem thêm: Giải Toán 9 Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

– Nối A với B. Góc $\widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\Delta{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\tan \alpha =\tan \widehat{OAB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{3}{4}.$

bai 13 trang 77 2

$d. \cot \alpha =\dfrac{3}{2}$

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=3.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=2.

– Nối A với B. Góc $\widehat{OAB}$ là góc cần dựng.

Thật vậy, xét $\widehat{OAB}$ vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\cot \alpha =\cot \widehat{OAB}=\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{3}{2}.$

bai 13 trang 77 3

Bài 14 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn $\alpha$ tùy ý, ta có:

a) $\tan \alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos \alpha}; \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }; \tan \alpha . \cot \alpha =1;$

$b) \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1$

Gợi ý đáp án

Xét $\Delta{ABC}$ vuông tại A, có $\widehat{ACB}=\alpha.$

bai 14 trang 77

+) $\Delta{ABC},$ vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \alpha = \dfrac{AB}{BC}, \cos \alpha =\dfrac{AC}{BC}$

$\tan \alpha =\dfrac{AB}{AC}, \cot \alpha =\dfrac{AC}{AB}.$

* Chứng minh $\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.$

$VP=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{AB}{BC} : \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}$

$=\dfrac{AB.BC}{BC.AC}=\dfrac{AB}{AC}= \tan \alpha =VT$

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh $\cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$

$VP=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{BC} : \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}. \dfrac{BC}{AB}$

$=\dfrac{AC.BC}{BC.AB}=\dfrac{AC}{AB}=\cot \alpha=VT$

* Chứng minh $\tan \alpha . \cot \alpha =1.$

Ta có: $VT=\tan \alpha . \cot \alpha$

$= \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB.AC}{AC.AB}=1=VP$

b) $\Delta{ABC}$ vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:

$BC^2=AC^2+AB^2 (1)$

Xét $\sin ^{2} \alpha +\cos^{2}\alpha$

$\;\;\;={\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2}+ {\left(\dfrac{AC}{BC} \right)^2}= \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}$

$\;\;\;=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2} (2)$

Thay (1) vào (2) ta được:

$\displaystyle {{A{B^2} + A{C^2}} \over {B{C^2}}} = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} = 1$

Như vậy $\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1$ (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ba hệ thức:

$\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }; \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ và $\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1$ là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.