Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Photo of author

By THPT An Giang

[ad_1]

Nội dung đang xem: Giải Toán 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Giải Toán 9 bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn giúp các em học sinh lớp 9 có thêm nhiều gợi ý tham khảo để giải các bài tập phần câu hỏi và bài tập được nhanh chóng và dễ dàng hơn.

Giải Toán 9 trang 76, 77 giúp các em hiểu được thế nào là Tỉ số lượng giác của góc nhọn, các dạng toán thường gặp. Giải Toán 9 bài 2 được trình bày rõ ràng, cẩn thận, dễ hiểu nhằm giúp học sinh nhanh chóng biết cách làm bài, đồng thời là tư liệu hữu ích giúp giáo viên thuận tiện trong việc hướng dẫn học sinh học tập. Vậy sau đây là nội dung chi tiết Giải Toán lớp 9 Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn, mời các bạn cùng tải tại đây.

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Định nghĩa Tỉ số lượng giác của góc nhọn

ly thuyet ti so luong giac

\sin \alpha = \dfrac{{cạnh\,đối}}{{cạnh\,huyền}} = \dfrac{{AB}}{{BC}};\cos \alpha = \dfrac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,huyền}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}

\tan \alpha = \dfrac{{cạnh\, đối}}{{cạnh\,kề}} = \dfrac{{AB}}{{AC}};\cot \alpha = \dfrac{{cạnh\,kề}}{{cạnh\,đối}} = \dfrac{{AC}}{{AB}}

2. Các dạng toán thường gặp

Xem thêm:  Hệ phương trình đẳng cấp: Cách giải, bài tập

Dạng 1: Tính Tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc

Phương pháp:

Sử dụng các Tỉ số lượng giác của góc nhọn, định lý Py-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính toán các yếu tố cần thiết.

Dạng 2: So sánh các tỉ số lượng giác giữa các góc

Phương pháp:

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng loại (sử dụng tính chất “Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia”)

Bước 2: Với góc nhọn \alpha ,\,\beta ta có: \sin \alpha < \sin \beta \Leftrightarrow \alpha < \beta ;\cos \alpha < \cos \beta \Leftrightarrow \alpha > \beta ;

\tan \alpha < \tan \beta \Leftrightarrow \alpha < \beta ;\cot \alpha < \cot \beta \Leftrightarrow \alpha > \beta .

Dạng 3: Rút gọn, tính giá trị biểu thức lượng giác

Phương pháp:

Ta thường sử dụng các kiến thức

+ Nếu \alpha là một góc nhọn bất kỳ thì

0 < \sin \alpha < 1;0 < \cos \alpha < 1, \tan \alpha > 0;\cot \alpha > 0 , {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\tan \alpha .\cot \alpha = 1

\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\cot \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};

1 + {\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }};1 + {\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}

+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Giải bài tập toán 9 trang 76, 77 tập 1

Bài 10 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34o.

Gợi ý đáp án 

ΔABC vuông tại A có góc C = 34o.

Khi đó:

Tỉ số lượng giác của góc \widehat{B}=34^o là:

\sin 34^o=\sin B=\dfrac{AC}{BC}

\cos 34^o=\cos B=\dfrac{AB}{BC}

\tan 34^o=\tan B=\dfrac{AC}{AB}

\cot 34^o=\tan C=\dfrac{AB}{AC}

bai 10 trang 76

Bài 11 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Gợi ý đáp án

Xét \Delta{ABC} vuông tại C, áp dụng định lí Pytago, ta có:

AB^2=CB^2+AC^2

\Leftrightarrow AB^2=0,9^2+1,2^2

\Leftrightarrow AB^2=0,81+1,44=2,25

\Leftrightarrow AB=\sqrt{2,25}=1,5m

bai 11 trang 76

\Delta{ABC} vuông tại C nên góc B và A là hai góc phụ nhau. Do vậy, ta có:

\sin A=\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1,2}{1,5}=\dfrac{4}{5}

\cos A=\sin B=\dfrac{AC}{AB} =\dfrac{0,9}{1,5}=\dfrac{3}{5}

\tan A=\cot B=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1,2}{0,9}=\dfrac{4}{3}

\cot A=\tan B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{0,9}{1,2}=\dfrac{3}{4}

Nhận xét: Với hai góc phụ nhau, ta có sin góc này bằng cosin góc kia, tan góc này bằng cotan góc kia!

Xem thêm:  Tuyển tập 95 đề thi vào lớp 10 của các sở trên cả nước hệ không chuyên

Bài 12 (trang 76 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45o: sin60o, cos75o, sin52o30′, cotg82o, tg80o

Gợi ý đáp án

(Áp dụng tính chất lượng giác của hai góc phụ nhau.)

Vì 60o + 30o = 90o nên sin60o = cos30o

Vì 75o + 15o = 90o nên cos75o = sin15o

Vì 52o30′ + 37o30′ = 90o nên sin 52o30’= cos37o30′

Vì 82o + 8o = 90o nên cotg82o = tg8o

Vì 80o + 10o = 90o nên tg80o = cotg10o

Giải bài tập toán 9 trang 77 tập 1: Luyện tập

Bài 13 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Gợi ý đáp án 

Dựng góc nhọn \alpha, biết:

a. \sin\alpha =\dfrac{2}{3}

Ta thực hiện các bước sau:

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho: OA=2.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A, bán kính 3. Cung tròn này cắt Oy tại điểm B.

– Nối A với B. Góc OBA là góc cần dựng.

Thật vậy, xét \Delta{OAB} vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\sin \alpha = \sin \widehat{OBA} = \dfrac{OA}{AB}=\dfrac{2}{3}.

bai 13 trang 77

b. \cos\alpha =0,6

Ta có: \cos \alpha =0,6 = \dfrac{3}{5}

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A bất kỳ sao cho OA=3.

– Dùng compa dựng cung tròn tâm A bán kính 5. Cung tròn này cắt tia Oy tại B.

– Nối A với B. Góc \widehat{OAB}=\alpha là góc cần dựng.

Thật vậy, Xét \Delta{OAB} vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\cos \alpha =\cos \widehat{OAB}=\dfrac{OA}{AB}=\dfrac{3}{5}=0,6.

bai 13 trang 77 1

c. \tan \alpha =\dfrac{3}{4}

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=4.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3.

Xem thêm:  Hướng dẫn bấm máy tính giải hệ phương trình.

– Nối A với B. Góc \widehat{OAB} là góc cần dựng.

Thật vậy, xét \Delta{OAB} vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\tan \alpha =\tan \widehat{OAB}=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{3}{4}.

bai 13 trang 77 2

d. \cot \alpha =\dfrac{3}{2}

– Dựng góc vuông xOy. Lấy một đoạn thẳng làm đơn vị.

– Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=3.

Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=2.

– Nối A với B. Góc \widehat{OAB} là góc cần dựng.

Thật vậy, xét \widehat{OAB} vuông tại O, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\cot \alpha =\cot \widehat{OAB}=\dfrac{OA}{OB}=\dfrac{3}{2}.

bai 13 trang 77 3

Bài 14 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Sử dụng định nghĩa tỉ số các lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng: Với góc nhọn \alpha tùy ý, ta có:

a)\tan \alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos \alpha}; \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }; \tan \alpha . \cot \alpha =1;

b) \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1

Gợi ý đáp án

Xét \Delta{ABC} vuông tại A, có \widehat{ACB}=\alpha.

bai 14 trang 77

+) \Delta{ABC}, vuông tại A, theo định nghĩa tỷ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

\sin \alpha = \dfrac{AB}{BC}, \cos \alpha =\dfrac{AC}{BC}

\tan \alpha =\dfrac{AB}{AC}, \cot \alpha =\dfrac{AC}{AB}.

* Chứng minh \tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.

VP=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{AB}{BC} : \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AB}{BC}.\dfrac{BC}{AC}

=\dfrac{AB.BC}{BC.AC}=\dfrac{AB}{AC}= \tan \alpha =VT

(Trong đó VT là vế trái của đẳng thức; VP là vế phải của đẳng thức)

* Chứng minh \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.

VP=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{AC}{BC} : \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC}{BC}. \dfrac{BC}{AB}

=\dfrac{AC.BC}{BC.AB}=\dfrac{AC}{AB}=\cot \alpha=VT

* Chứng minh \tan \alpha . \cot \alpha =1.

Ta có: VT=\tan \alpha . \cot \alpha

= \dfrac{AB}{AC}.\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB.AC}{AC.AB}=1=VP

b) \Delta{ABC} vuông tại A, áp dụng định lí Pytago, ta được:

BC^2=AC^2+AB^2 (1)

Xét \sin ^{2} \alpha +\cos^{2}\alpha

\;\;\;={\left(\dfrac{AB}{BC} \right)^2}+ {\left(\dfrac{AC}{BC} \right)^2}= \dfrac{AB^{2}}{BC^{2}}+\dfrac{AC^{2}}{BC^{2}}

\;\;\;=\dfrac{AB^2+AC^2}{BC^2} (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

\displaystyle {{A{B^2} + A{C^2}} \over {B{C^2}}} = {{B{C^2}} \over {B{C^2}}} = 1

Như vậy \sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1 (điều phải chứng minh)

Nhận xét: Ba hệ thức:

\tan \alpha =\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha }; \cot \alpha =\dfrac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\sin^{2} \alpha +\cos^{2} \alpha =1 là những hệ thức cơ bản bạn cần nhớ để giải một số bài tập khác.

Bài 15 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết , hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.

Gợi ý đáp án

Xét tam giác ABC vuông tại A nên góc C nhọn. Vì thế:

\sin C>0; \cos C>0; \tan C>0; \cot C>0

Vì hai góc B và C phụ nhau \Rightarrow \sin C = \cos B = 0,8

Áp dụng công thức bài 14, ta có:

\sin^{2}C+\cos^{2}C=1 \Leftrightarrow \cos^{2}C=1-\sin^{2}C

\Leftrightarrow \cos^2 C =1-(0,8)^{2}

\Leftrightarrow \cos^2 C =0,36

\Rightarrow \cos C = \sqrt{0,36}=0,6

Lại có:

\tan C=\dfrac{\sin C}{\cos C}=\dfrac{0,8}{0,6}=\dfrac{4}{3};

\tan C .\cot C=1 \Leftrightarrow \cot C= \dfrac{1}{\tan C}=\dfrac{3}{4}

Nhận xét: Nếu biết \sin \alpha (hay \cos \alpha) thì ta có thể tính được ba tỷ số lượng giác còn lại.

Bài 16 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho tam giác vuông có một góc 60o và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60o.

Gợi ý đáp án

bai 16 trang 77

Bài 17 (trang 77 SGK Toán 9 Tập 1)

Tìm x trong hình 23.

bai 17 trang 77

Gợi ý đáp án

Kí hiệu như hình trên.

Ta có tam giác ABH là vuông cân (vì ∠B = 45o) nên AH = 20.

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông AHC có:

x2 = AH2 + HC2 = 202 + 212 = 841

=> x = √841 = 29

[ad_2]

Đăng bởi: THPT An Giang

Chuyên mục: Học Tập

Viết một bình luận